Teorema de Pitágoras
a² + b² = c²
A soma dos quadrados dos dois catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Isole qualquer lado a partir dos outros dois: c = √(a²+b²), a = √(c²−b²), b = √(c²−a²).
FOLHA DE REFERÊNCIA
Fórmulas do triângulo retângulo
Todas as fórmulas de que você precisa para a geometria e a trigonometria do triângulo retângulo, em um só lugar e com o raciocínio por trás de cada uma.
Como usar esta folha de referência
Todas as fórmulas desta página usam a mesma notação do resto do site: vértices A, B e C com o ângulo reto em C;
cateto a (lado BC) oposto ao ângulo α no vértice A; cateto b (lado AC) oposto ao ângulo β
no vértice B; hipotenusa c (lado AB); e altura h traçada de C perpendicularmente à
hipotenusa. Se você prefere digitar números a fazer as contas à mão, a
calculadora de triângulo retângulo aplica automaticamente todas as fórmulas abaixo e
mostra a substituição passo a passo para os dois valores que você informar.
As fórmulas estão agrupadas em seis famílias: o próprio teorema de Pitágoras; área e perímetro; as três razões trigonométricas (seno, cosseno e tangente); o par de ângulos agudos complementares; as relações métricas da altura relativa à hipotenusa; e os raios das circunferências inscrita e circunscrita. Juntas, elas cobrem tudo o que é preciso para resolver qualquer triângulo retângulo a partir de dois valores conhecidos.
Teorema de Pitágoras
Experimente: Calculadora do teorema de Pitágoras
Fórmula da área do triângulo retângulo
Área a partir dos catetos
Área = (1/2)·a·b
Como os dois catetos são perpendiculares, qualquer um deles pode ser a "base" e o outro a "altura": metade do produto é a área.
Área a partir da hipotenusa e da altura
Área = (1/2)·c·h
É a fórmula de base vezes altura dividido por dois, usando a hipotenusa como base e a altura relativa a ela como altura.
Área a partir da hipotenusa e de um ângulo
Área = (1/2)·c²·sen α·cos α
Cada cateto é a hipotenusa vezes o seno ou o cosseno de α (a = c·sen α, b = c·cos α), então metade do produto dá a área. Equivale a Área = (1/4)·c²·sen 2α.
Área a partir de um cateto e de um ângulo
Área = a² / (2·tg α)
Com o cateto a oposto ao ângulo α, o outro cateto é b = a / tg α. Substituindo em (1/2)·a·b, obtém-se a área a partir de um único cateto e um ângulo agudo.
Experimente: Calculadora de triângulo retângulo
Perímetro
Perímetro
P = a + b + c
Simplesmente a soma dos três lados: os dois catetos e a hipotenusa.
Experimente: Calculadora de triângulo retângulo
Razões trigonométricas
Seno
sen(α) = cateto oposto / hipotenusa = a / c
Para o ângulo α no vértice A, o cateto "oposto" é a (lado BC) e a hipotenusa é c. Isolando: a = c·sen(α), c = a / sen(α).
Cosseno
cos(α) = cateto adjacente / hipotenusa = b / c
Para o ângulo α, o cateto "adjacente" é b (lado AC). Isolando: b = c·cos(α), c = b / cos(α).
Tangente
tg(α) = cateto oposto / cateto adjacente = a / b
A tangente de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto e o adjacente; serve para encontrar um ângulo quando só os dois catetos são conhecidos: α = arctg(a/b).
Experimente: Calculadora de hipotenusa
Ângulos
Ângulos agudos complementares
α + β = 90°
Os dois ângulos não retos de todo triângulo retângulo sempre somam 90°, então conhecer um dá o outro na hora.
Experimente: Calculadora de triângulos retângulos especiais
Relações métricas da altura
A altura como média geométrica
h = √(p·q)
A altura traçada do ângulo reto divide a hipotenusa em dois segmentos, as projeções p e q. A altura é a média geométrica dessas projeções, consequência direta de os três triângulos formados serem semelhantes.
Altura a partir dos catetos e da hipotenusa
h = (a·b) / c
Obtida igualando as duas fórmulas da área, (1/2)ab = (1/2)ch, e isolando h.
Cada cateto como média geométrica
a² = p·c, b² = q·c
Cada cateto é a média geométrica entre a hipotenusa inteira e a projeção desse cateto sobre a hipotenusa: uma das relações métricas do triângulo retângulo.
Experimente: Calculadora de triângulo retângulo
Circunferências inscrita e circunscrita
Raio inscrito
r = (a + b − c) / 2
O raio da circunferência inscrita no triângulo retângulo, tangente aos três lados. Uma identidade útil para conferir rapidamente qualquer triângulo resolvido.
Raio circunscrito
R = c / 2
A hipotenusa de um triângulo retângulo é sempre um diâmetro da circunferência circunscrita (teorema de Tales), então o raio circunscrito é simplesmente metade da hipotenusa.
Experimente: Calculadora de triângulo retângulo
Por que as relações métricas funcionam
As relações da altura relativa à hipotenusa parecem um conjunto separado de regras, mas todas saem de uma única
observação: traçar a altura do ângulo reto até a hipotenusa cria dois triângulos retângulos menores, e os dois são
semelhantes ao original (e entre si), porque os três têm os mesmos ângulos, só em posições diferentes. Sabendo que
os três triângulos são semelhantes, os lados correspondentes precisam ser proporcionais, e igualar essas
proporções dá diretamente h² = p·q, a² = p·c e b² = q·c, em que p e q são as
projeções em que a altura divide a hipotenusa (p + q = c). São as relações métricas do triângulo
retângulo, um exercício de demonstração clássico no ensino médio justamente porque um único argumento de
semelhança libera três fórmulas que parecem independentes.
Juntando tudo: uma conferência numérica rápida
Pegue o conhecido triângulo retângulo 3-4-5: catetos a = 3, b = 4 e hipotenusa
c = 5. O teorema de Pitágoras confirma: 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5². A área é
(1/2)(3)(4) = 6 e o perímetro é 3 + 4 + 5 = 12. A altura relativa à hipotenusa é
h = (3 × 4)/5 = 2,4, que divide a hipotenusa nas projeções p = a²/c = 9/5 = 1,8 e
q = b²/c = 16/5 = 3,2; e, de fato, p + q = 1,8 + 3,2 = 5 = c, e h² = p·q
confere: 2,4² = 5,76 = 1,8 × 3,2. Por fim, o raio inscrito é (3 + 4 − 5)/2 = 1 e o raio
circunscrito é 5/2 = 2,5. Todas as fórmulas desta página são coerentes entre si, e é por isso que são
usadas juntas nas resoluções passo a passo desta calculadora.
Referências
As fórmulas e definições desta página seguem estas referências.
- Weisstein, Eric W. “Right Triangle.” MathWorld, Wolfram Research. (em inglês)
- Weisstein, Eric W. “Pythagorean Theorem.” MathWorld, Wolfram Research. (em inglês)
- “§4.14 Definitions and Periodicity (Trigonometric Functions).” NIST Digital Library of Mathematical Functions, National Institute of Standards and Technology. (em inglês)
Calculadora de triângulo retângulo
Encontre a área, os lados e os ângulos de qualquer triângulo retângulo a partir de 2 valores.
Calculadora de hipotenusa
Encontre a hipotenusa a partir de dois catetos, um cateto e um ângulo, a área ou o perímetro.
Calculadora do teorema de Pitágoras
Encontre o lado que falta de um triângulo retângulo ou verifique se 3 lados formam um.
Calculadora de triângulos retângulos especiais
Resolva triângulos 30-60-90 e 45-45-90 a partir de um único lado.
Calculadora de triângulo 30-60-90
Resolva um triângulo 30-60-90 a partir de um único lado.
Calculadora de triângulo retângulo isósceles
Resolva um triângulo retângulo isósceles 45-45-90 a partir de um único lado.