Satz des Pythagoras
a² + b² = c²
Die Summe der Kathetenquadrate ist gleich dem Hypotenusenquadrat. Jede Seite lässt sich aus den beiden anderen berechnen: c = √(a²+b²), a = √(c²−b²), b = √(c²−a²).
FORMELSAMMLUNG
Formeln am rechtwinkligen Dreieck
Alle Formeln für Geometrie und Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck an einem Ort – jeweils mit der Überlegung dahinter.
So nutzen Sie diese Formelsammlung
Alle Formeln auf dieser Seite verwenden dieselben Bezeichnungen wie der Rest der Website: Eckpunkte A, B und C mit
dem rechten Winkel bei C; Kathete a (Seite BC) gegenüber dem Winkel α bei A; Kathete b
(Seite AC) gegenüber dem Winkel β bei B; Hypotenuse c (Seite AB); und die Höhe h von C
senkrecht auf die Hypotenuse. Wenn Sie lieber Zahlen eingeben als von Hand rechnen, wendet der
Rechner für rechtwinklige Dreiecke alle folgenden Formeln automatisch an und zeigt für
die beiden eingegebenen Werte das Einsetzen Schritt für Schritt.
Die Formeln sind in sechs Gruppen geordnet: den Satz des Pythagoras; Fläche und Umfang; die drei Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens; die beiden sich zu 90° ergänzenden spitzen Winkel; Höhen- und Kathetensatz; sowie In- und Umkreisradius. Zusammen decken sie alles ab, was Sie brauchen, um jedes rechtwinklige Dreieck aus zwei bekannten Werten vollständig zu berechnen.
Satz des Pythagoras
Ausprobieren: Satz-des-Pythagoras-Rechner
Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks
Fläche aus den Katheten
A = (1/2)·a·b
Weil die beiden Katheten senkrecht aufeinander stehen, kann eine die „Grundseite“ und die andere die „Höhe“ sein – das halbe Produkt ist die Fläche.
Fläche aus Hypotenuse und Höhe
A = (1/2)·c·h
Die übliche Formel „Grundseite mal Höhe durch zwei“ mit der Hypotenuse als Grundseite und der Höhe auf die Hypotenuse als Höhe.
Fläche aus Hypotenuse und Winkel
A = (1/2)·c²·sin α·cos α
Jede Kathete ist die Hypotenuse mal Sinus bzw. Kosinus von α (a = c·sin α, b = c·cos α), das halbe Produkt ergibt die Fläche. Gleichwertig: A = (1/4)·c²·sin 2α.
Fläche aus einer Kathete und einem Winkel
A = a² / (2·tan α)
Liegt die Kathete a dem Winkel α gegenüber, ist die andere Kathete b = a / tan α. Eingesetzt in (1/2)·a·b ergibt sich die Fläche aus einer Kathete und einem spitzen Winkel.
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Umfang
Umfang
u = a + b + c
Einfach die Summe aller drei Seiten – der beiden Katheten und der Hypotenuse.
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Winkelfunktionen
Sinus
sin(α) = Gegenkathete / Hypotenuse = a / c
Für den Winkel α am Punkt A ist a (Seite BC) die Gegenkathete und c die Hypotenuse. Umgestellt: a = c·sin(α), c = a / sin(α).
Kosinus
cos(α) = Ankathete / Hypotenuse = b / c
Für den Winkel α ist b (Seite AC) die Ankathete. Umgestellt: b = c·cos(α), c = b / cos(α).
Tangens
tan(α) = Gegenkathete / Ankathete = a / b
Der Tangens eines spitzen Winkels ist das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete – nützlich, um einen Winkel zu bestimmen, wenn nur die beiden Katheten bekannt sind: α = arctan(a/b).
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Winkel
Spitze Winkel ergänzen sich zu 90°
α + β = 90°
Die beiden nicht rechten Winkel jedes rechtwinkligen Dreiecks ergeben zusammen immer 90° – kennt man einen, kennt man sofort den anderen.
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Höhensatz und Kathetensatz
Höhensatz
h = √(p·q)
Die Höhe vom rechten Winkel teilt die Hypotenuse in die Hypotenusenabschnitte p und q. Die Höhe ist das geometrische Mittel dieser Abschnitte – eine direkte Folge davon, dass die drei entstehenden Dreiecke ähnlich sind.
Höhe aus Katheten und Hypotenuse
h = (a·b) / c
Ergibt sich durch Gleichsetzen der beiden Flächenformeln (1/2)ab = (1/2)ch und Auflösen nach h.
Kathetensatz
a² = p·c, b² = q·c
Jede Kathete ist das geometrische Mittel aus der ganzen Hypotenuse und dem an dieser Kathete anliegenden Hypotenusenabschnitt – das ist der Kathetensatz des Euklid.
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Inkreis und Umkreis
Inkreisradius
r = (a + b − c) / 2
Der Radius des Inkreises eines rechtwinkligen Dreiecks, der alle drei Seiten berührt. Eine praktische Identität, um ein berechnetes Dreieck schnell zu überprüfen.
Umkreisradius
R = c / 2
Die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist immer ein Durchmesser seines Umkreises (Satz des Thales), der Umkreisradius ist also einfach die halbe Hypotenuse.
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Warum Höhensatz und Kathetensatz gelten
Höhen- und Kathetensatz wirken wie eigene Regeln, folgen aber alle aus einer einzigen Beobachtung: Die Höhe vom
rechten Winkel auf die Hypotenuse teilt das Dreieck in zwei kleinere rechtwinklige Dreiecke, und beide sind dem
ursprünglichen Dreieck (und einander) ähnlich, weil alle drei dieselben Winkel haben – nur anders angeordnet. Sind die
drei Dreiecke ähnlich, müssen entsprechende Seiten im gleichen Verhältnis stehen, und das Gleichsetzen dieser
Verhältnisse liefert direkt h² = p·q, a² = p·c und b² = q·c, wobei p und q
die Hypotenusenabschnitte sind (p + q = c). Zusammen mit dem Satz des Pythagoras bilden sie die
Satzgruppe des Pythagoras – eine beliebte Beweisübung im Geometrieunterricht, gerade weil ein einziges
Ähnlichkeitsargument drei scheinbar unabhängige Formeln liefert.
Alles zusammen: eine schnelle Probe mit Zahlen
Nehmen Sie das bekannte 3-4-5-Dreieck: Katheten a = 3, b = 4, Hypotenuse
c = 5. Der Satz des Pythagoras bestätigt 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5². Die Fläche ist
(1/2)(3)(4) = 6, der Umfang 3 + 4 + 5 = 12. Die Höhe auf die Hypotenuse ist
h = (3 × 4)/5 = 2,4 und teilt die Hypotenuse in die Abschnitte p = a²/c = 9/5 = 1,8 und
q = b²/c = 16/5 = 3,2 – tatsächlich ist p + q = 1,8 + 3,2 = 5 = c, und
h² = p·q stimmt: 2,4² = 5,76 = 1,8 × 3,2. Schließlich ist der Inkreisradius
(3 + 4 − 5)/2 = 1 und der Umkreisradius 5/2 = 2,5. Alle Formeln auf dieser Seite passen
zusammen – genau deshalb werden sie in den Lösungswegen dieses Rechners gemeinsam verwendet.
Quellen
Die Formeln und Definitionen auf dieser Seite stimmen mit diesen Standardquellen überein.
- Weisstein, Eric W. “Right Triangle.” MathWorld, Wolfram Research. (auf Englisch)
- Weisstein, Eric W. “Pythagorean Theorem.” MathWorld, Wolfram Research. (auf Englisch)
- “§4.14 Definitions and Periodicity (Trigonometric Functions).” NIST Digital Library of Mathematical Functions, National Institute of Standards and Technology. (auf Englisch)
Rechtwinkliges Dreieck berechnen
Fläche, Seiten und Winkel jedes rechtwinkligen Dreiecks aus 2 bekannten Werten berechnen.
Hypotenuse berechnen
Die Hypotenuse aus zwei Katheten, einer Kathete und einem Winkel, der Fläche oder dem Umfang berechnen.
Satz-des-Pythagoras-Rechner
Die fehlende Seite eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen oder prüfen, ob 3 Seiten eines bilden.
Rechner für besondere rechtwinklige Dreiecke
30-60-90- und 45-45-90-Dreiecke aus einer einzigen Seite lösen.
30-60-90-Dreieck-Rechner
Ein 30-60-90-Dreieck aus einer einzigen Seite lösen.
Rechner für gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke
Ein 45-45-90-Dreieck (gleichschenklig-rechtwinklig) aus einer einzigen Seite lösen.