三平方の定理（ピタゴラスの定理）
a² + b² = c²
直角をはさむ2辺の2乗の和は、斜辺の2乗に等しくなります。ほかの2辺からどの辺でも求められます：c = √(a²+b²)、a = √(c²−b²)、b = √(c²−a²)。
公式集
直角三角形の公式
直角三角形の図形と三角比に必要な公式を1か所にまとめ、それぞれの考え方も説明しています。
この公式集の使い方
このページの公式は、サイト全体と同じ記号を使っています。頂点は A、B、C で直角は C。辺 a（辺 BC）は頂点 A の角 α の向かい、辺 b（辺 AC）は頂点 B の角 β の向かい、斜辺は c（辺 AB）、h は C から斜辺に下ろした垂線（高さ）です。手計算より数値を入れるほうが楽なら、直角三角形の計算が以下の公式を自動で使い、入力した2つの値に対する代入の過程を途中式として表示します。
公式は6つのグループに分けています。三平方の定理、面積と周の長さ、3つの三角比（sin・cos・tan）、2つの鋭角の関係、斜辺への垂線に関する関係、内接円と外接円の半径です。これだけで、わかっている2つの値からどんな直角三角形でも完全に解くことができます。
三平方の定理
計算してみる: 三平方の定理の計算
直角三角形の面積の公式
2辺から求める面積
面積 = (1/2)·a·b
直角をはさむ2辺は垂直なので、一方を「底辺」、もう一方を「高さ」とみなせます。2辺の積の半分が面積です。
斜辺と高さから求める面積
面積 = (1/2)·c·h
斜辺を底辺、斜辺に下ろした垂線を高さとした、おなじみの「底辺 × 高さ ÷ 2」です。
斜辺と角度から求める面積
面積 = (1/2)·c²·sin α·cos α
2辺はそれぞれ斜辺に α の sin・cos をかけたもの（a = c·sin α、b = c·cos α）なので、その積の半分が面積です。面積 = (1/4)·c²·sin 2α とも書けます。
1辺と角度から求める面積
面積 = a² / (2·tan α)
辺 a が角 α の向かいにあるとき、もう1辺は b = a / tan α です。これを (1/2)·a·b に代入すると、1辺と1つの鋭角から面積が求まります。
計算してみる: 直角三角形の計算
周の長さ
周の長さ
P = a + b + c
3辺（直角をはさむ2辺と斜辺）の長さをすべて足したものです。
計算してみる: 直角三角形の計算
三角比
サイン（sin）
sin(α) = 対辺 / 斜辺 = a / c
頂点 A の角 α にとって、対辺は a（辺 BC）、斜辺は c です。変形すると a = c·sin(α)、c = a / sin(α)。
コサイン（cos）
cos(α) = 隣辺 / 斜辺 = b / c
角 α にとって、隣辺は b（辺 AC）です。変形すると b = c·cos(α)、c = b / cos(α)。
タンジェント（tan）
tan(α) = 対辺 / 隣辺 = a / b
鋭角のタンジェントは対辺と隣辺の比です。直角をはさむ2辺しかわからないときに角度を求めるのに使います：α = arctan(a/b)。
計算してみる: 斜辺の計算
角度
2つの鋭角の和
α + β = 90°
直角三角形の直角以外の2つの角の和はいつも 90° なので、一方がわかればもう一方もすぐにわかります。
計算してみる: 特別な直角三角形の計算
斜辺への垂線に関する関係
高さは2つの線分の相乗平均
h = √(p·q)
直角の頂点から斜辺に下ろした垂線は、斜辺を2つの線分 p と q に分けます。高さはこの2つの線分の相乗平均で、できる3つの三角形がすべて相似であることから直接導かれます。
2辺と斜辺から求める高さ
h = (a·b) / c
2つの面積の公式 (1/2)ab = (1/2)ch を等しいとおき、h について解くと得られます。
各辺は相乗平均
a² = p·c, b² = q·c
直角をはさむ各辺は、斜辺全体と、その辺側にある斜辺の線分との相乗平均になります。
計算してみる: 直角三角形の計算
内接円と外接円
内接円の半径
r = (a + b − c) / 2
直角三角形の3辺すべてに接する内接円の半径です。解いた三角形をすばやく検算するのに便利な式です。
外接円の半径
R = c / 2
直角三角形の斜辺はいつも外接円の直径になる（タレスの定理）ので、外接円の半径は斜辺の半分です。
計算してみる: 直角三角形の計算
斜辺への垂線の関係が成り立つ理由
斜辺への垂線に関する公式は別々のルールに見えますが、すべて1つの事実から導けます。直角の頂点から斜辺に垂線を下ろすと、小さな直角三角形が2つでき、どちらも元の三角形と（そして互いに）相似になります。3つとも同じ角をもち、並び方が違うだけだからです。相似がわかれば対応する辺の比は等しいので、その比を等しいとおくだけで h² = p·q、a² = p·c、b² = q·c が得られます。ここで p と q は垂線が斜辺を分けた2つの線分です（p + q = c）。1つの相似の議論から一見無関係な3つの公式が出てくるため、図形の証明問題の定番になっています。
まとめ：数値で確かめる
おなじみの 3-4-5 の直角三角形で確かめてみましょう。直角をはさむ辺 a = 3、b = 4、斜辺 c = 5 です。三平方の定理は 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5² で成り立ちます。面積は (1/2)(3)(4) = 6、周の長さは 3 + 4 + 5 = 12。斜辺への高さは h = (3 × 4)/5 = 2.4 で、斜辺を p = a²/c = 9/5 = 1.8 と q = b²/c = 16/5 = 3.2 に分けます。確かに p + q = 1.8 + 3.2 = 5 = c で、h² = p·q も 2.4² = 5.76 = 1.8 × 3.2 と成り立ちます。最後に、内接円の半径は (3 + 4 − 5)/2 = 1、外接円の半径は 5/2 = 2.5 です。このページの公式はすべて互いに矛盾がなく、だからこそこの計算機の途中式でもまとめて使われています。
参考文献
このページの公式と定義は、次の標準的な資料と一致しています。
- Weisstein, Eric W. “Right Triangle.” MathWorld, Wolfram Research.（英語）
- Weisstein, Eric W. “Pythagorean Theorem.” MathWorld, Wolfram Research.（英語）
- “§4.14 Definitions and Periodicity (Trigonometric Functions).” NIST Digital Library of Mathematical Functions, National Institute of Standards and Technology.（英語）