Teorema di Pitagora
a² + b² = c²
La somma dei quadrati dei due cateti è uguale al quadrato dell’ipotenusa. Ricava un lato qualsiasi dagli altri due: c = √(a²+b²), a = √(c²−b²), b = √(c²−a²).
SCHEDA DI RIFERIMENTO
Formule del triangolo rettangolo
Tutte le formule che servono per la geometria e la trigonometria del triangolo rettangolo, in un unico posto e con il ragionamento dietro ciascuna.
Come usare questa scheda
Tutte le formule di questa pagina usano la stessa notazione del resto del sito: vertici A, B e C con l’angolo retto
in C; cateto a (lato BC) opposto all’angolo α nel vertice A; cateto b (lato AC) opposto
all’angolo β nel vertice B; ipotenusa c (lato AB); e altezza h tracciata da C
perpendicolarmente all’ipotenusa. Se preferisci inserire numeri invece di fare i calcoli a mano, la
calcolatrice del triangolo rettangolo applica automaticamente tutte le formule qui sotto
e mostra la sostituzione passo per passo per i due valori che inserisci.
Le formule sono raggruppate in sei famiglie: il teorema di Pitagora; area e perimetro; le tre funzioni trigonometriche (seno, coseno e tangente); la coppia di angoli acuti complementari; le relazioni dell’altezza relativa all’ipotenusa (i teoremi di Euclide); e i raggi delle circonferenze inscritta e circoscritta. Insieme coprono tutto il necessario per risolvere qualsiasi triangolo rettangolo a partire da due valori noti.
Teorema di Pitagora
Provalo: Calcolatrice del teorema di Pitagora
Formula dell’area del triangolo rettangolo
Area dai cateti
Area = (1/2)·a·b
Poiché i due cateti sono perpendicolari, uno qualsiasi dei due può fare da «base» e l’altro da «altezza»: metà del loro prodotto è l’area.
Area dall’ipotenusa e dalla sua altezza
Area = (1/2)·c·h
È la solita formula base per altezza diviso due, usando l’ipotenusa come base e l’altezza relativa all’ipotenusa come altezza.
Area dall’ipotenusa e da un angolo
Area = (1/2)·c²·sen α·cos α
Ogni cateto è l’ipotenusa per il seno o il coseno di α (a = c·sen α, b = c·cos α), quindi metà del loro prodotto dà l’area. Equivale ad Area = (1/4)·c²·sen 2α.
Area da un cateto e da un angolo
Area = a² / (2·tg α)
Con il cateto a opposto all’angolo α, l’altro cateto è b = a / tg α. Sostituendo in (1/2)·a·b si ottiene l’area da un solo cateto e un angolo acuto.
Provalo: Calcolatrice triangolo rettangolo
Perimetro
Perimetro
P = a + b + c
Semplicemente la somma dei tre lati: i due cateti e l’ipotenusa.
Provalo: Calcolatrice triangolo rettangolo
Funzioni trigonometriche
Seno
sen(α) = cateto opposto / ipotenusa = a / c
Per l’angolo α nel vertice A, il cateto «opposto» è a (lato BC) e l’ipotenusa è c. Ricavando: a = c·sen(α), c = a / sen(α).
Coseno
cos(α) = cateto adiacente / ipotenusa = b / c
Per l’angolo α, il cateto «adiacente» è b (lato AC). Ricavando: b = c·cos(α), c = b / cos(α).
Tangente
tg(α) = cateto opposto / cateto adiacente = a / b
La tangente di un angolo acuto è il rapporto tra il cateto opposto e il cateto adiacente; serve a trovare un angolo quando conosci solo i due cateti: α = arctg(a/b).
Provalo: Calcolo dell’ipotenusa
Angoli
Angoli acuti complementari
α + β = 90°
I due angoli non retti di ogni triangolo rettangolo sommano sempre 90°, quindi conoscerne uno dà subito l’altro.
Teoremi di Euclide e altezza
L’altezza come media proporzionale
h = √(p·q)
L’altezza tracciata dall’angolo retto divide l’ipotenusa in due proiezioni p e q. L’altezza è la media proporzionale tra le due proiezioni (secondo teorema di Euclide), conseguenza diretta della similitudine dei tre triangoli che si formano.
Altezza dai cateti e dall’ipotenusa
h = (a·b) / c
Si ottiene uguagliando le due formule dell’area, (1/2)ab = (1/2)ch, e ricavando h.
Ogni cateto come media proporzionale
a² = p·c, b² = q·c
Ogni cateto è medio proporzionale tra l’intera ipotenusa e la propria proiezione sull’ipotenusa: è il primo teorema di Euclide.
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Circonferenze inscritta e circoscritta
Raggio inscritto
r = (a + b − c) / 2
Il raggio della circonferenza inscritta nel triangolo rettangolo, tangente a tutti e tre i lati. Un’identità utile per un controllo veloce di qualsiasi triangolo risolto.
Raggio circoscritto
R = c / 2
L’ipotenusa di un triangolo rettangolo è sempre un diametro della circonferenza circoscritta (teorema di Talete), quindi il raggio circoscritto è semplicemente metà dell’ipotenusa.
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Perché funzionano i teoremi di Euclide
Le relazioni dell’altezza relativa all’ipotenusa sembrano un insieme di regole a sé, ma derivano tutte da
un’unica osservazione: tracciando l’altezza dall’angolo retto all’ipotenusa si formano due triangoli rettangoli più
piccoli, entrambi simili al triangolo originale (e tra loro), perché tutti e tre hanno gli stessi angoli, solo
disposti diversamente. Una volta stabilito che i tre triangoli sono simili, i lati corrispondenti devono essere in
proporzione, e uguagliando quelle proporzioni si ottengono direttamente h² = p·q,
a² = p·c e b² = q·c, dove p e q sono le due proiezioni in cui l’altezza divide
l’ipotenusa (p + q = c). Sono il primo e il secondo teorema di Euclide, un classico esercizio di
dimostrazione nei corsi di geometria proprio perché un solo argomento di similitudine sblocca tre formule che
sembrano indipendenti.
Tutto insieme: una verifica numerica veloce
Prendi il noto triangolo rettangolo 3-4-5: cateti a = 3, b = 4 e ipotenusa
c = 5. Il teorema di Pitagora lo conferma: 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5². L’area è
(1/2)(3)(4) = 6 e il perimetro è 3 + 4 + 5 = 12. L’altezza relativa all’ipotenusa è
h = (3 × 4)/5 = 2,4, che divide l’ipotenusa nelle proiezioni p = a²/c = 9/5 = 1,8 e
q = b²/c = 16/5 = 3,2; e infatti p + q = 1,8 + 3,2 = 5 = c, e h² = p·q torna:
2,4² = 5,76 = 1,8 × 3,2. Infine, il raggio inscritto è (3 + 4 − 5)/2 = 1 e il raggio
circoscritto è 5/2 = 2,5. Tutte le formule di questa pagina sono coerenti tra loro, ed è proprio per
questo che vengono usate insieme nelle soluzioni passo per passo di questa calcolatrice.
Fonti
Le formule e le definizioni di questa pagina corrispondono a queste fonti di riferimento.
- Weisstein, Eric W. “Right Triangle.” MathWorld, Wolfram Research. (in inglese)
- Weisstein, Eric W. “Pythagorean Theorem.” MathWorld, Wolfram Research. (in inglese)
- “§4.14 Definitions and Periodicity (Trigonometric Functions).” NIST Digital Library of Mathematical Functions, National Institute of Standards and Technology. (in inglese)
Calcolatrice triangolo rettangolo
Trova area, lati e angoli di qualsiasi triangolo rettangolo a partire da 2 valori.
Calcolo dell’ipotenusa
Trova l’ipotenusa da due cateti, un cateto e un angolo, l’area o il perimetro.
Calcolatrice del teorema di Pitagora
Trova il lato mancante di un triangolo rettangolo o verifica se 3 lati ne formano uno.
Calcolatrice triangoli rettangoli speciali
Risolvi triangoli 30-60-90 e 45-45-90 partendo da un solo lato.
Calcolatrice triangolo 30-60-90
Risolvi un triangolo 30-60-90 partendo da un solo lato.
Calcolatrice triangolo rettangolo isoscele
Risolvi un triangolo rettangolo isoscele 45-45-90 partendo da un solo lato.