Théorème de Pythagore
a² + b² = c²
La somme des carrés des deux côtés de l’angle droit est égale au carré de l’hypoténuse. On en tire n’importe quel côté à partir des deux autres : c = √(a²+b²), a = √(c²−b²), b = √(c²−a²).
FICHE DE RÉFÉRENCE
Formules du triangle rectangle
Toutes les formules utiles en géométrie et en trigonométrie du triangle rectangle, au même endroit, avec le raisonnement derrière chacune.
Comment utiliser cette fiche
Toutes les formules de cette page suivent les mêmes notations que le reste du site : sommets A, B et C avec l’angle
droit en C ; côté a (le côté BC) opposé à l’angle α au sommet A ; côté b (le côté AC)
opposé à l’angle β au sommet B ; hypoténuse c (le côté AB) ; et hauteur h issue de C,
perpendiculaire à l’hypoténuse. Si vous préférez saisir des nombres plutôt que calculer à la main, la
calculatrice de triangle rectangle applique automatiquement toutes les formules
ci-dessous et affiche le calcul étape par étape pour les deux valeurs que vous saisissez.
Les formules sont regroupées en six familles : le théorème de Pythagore ; l’aire et le périmètre ; les trois rapports trigonométriques SOH-CAH-TOA ; les deux angles aigus complémentaires ; les relations métriques de la hauteur relative à l’hypoténuse ; et les rayons des cercles inscrit et circonscrit. Ensemble, elles couvrent tout ce qu’il faut pour résoudre n’importe quel triangle rectangle à partir de deux valeurs connues.
Théorème de Pythagore
Essayez : Calculatrice du théorème de Pythagore
Formule de l’aire d’un triangle rectangle
Aire à partir des côtés de l’angle droit
Aire = (1/2)·a·b
Comme les deux côtés de l’angle droit sont perpendiculaires, l’un peut servir de « base » et l’autre de « hauteur » : la moitié de leur produit donne l’aire.
Aire à partir de l’hypoténuse et de sa hauteur
Aire = (1/2)·c·h
C’est la formule habituelle base × hauteur ÷ 2, avec l’hypoténuse comme base et la hauteur relative à l’hypoténuse comme hauteur.
Aire à partir de l’hypoténuse et d’un angle
Aire = (1/2)·c²·sin α·cos α
Chaque côté de l’angle droit vaut l’hypoténuse multipliée par le sinus ou le cosinus de α (a = c·sin α, b = c·cos α), et la moitié de leur produit donne l’aire. De façon équivalente, Aire = (1/4)·c²·sin 2α.
Aire à partir d’un côté et d’un angle
Aire = a² / (2·tan α)
Avec le côté a opposé à l’angle α, l’autre côté vaut b = a / tan α. En remplaçant dans (1/2)·a·b, on obtient l’aire à partir d’un seul côté et d’un angle aigu.
Essayez : Calculatrice de triangle rectangle
Périmètre
Périmètre
P = a + b + c
Tout simplement la somme des trois côtés : les deux côtés de l’angle droit et l’hypoténuse.
Essayez : Calculatrice de triangle rectangle
Rapports trigonométriques (SOH-CAH-TOA)
Sinus (SOH)
sin(α) = côté opposé / hypoténuse = a / c
Pour l’angle α au sommet A, le côté « opposé » est a (le côté BC) et l’hypoténuse est c. En isolant : a = c·sin(α), c = a / sin(α).
Cosinus (CAH)
cos(α) = côté adjacent / hypoténuse = b / c
Pour l’angle α, le côté « adjacent » est b (le côté AC). En isolant : b = c·cos(α), c = b / cos(α).
Tangente (TOA)
tan(α) = côté opposé / côté adjacent = a / b
La tangente d’un angle aigu est le rapport du côté opposé au côté adjacent ; elle sert à trouver un angle quand on ne connaît que les deux côtés de l’angle droit : α = arctan(a/b).
Essayez : Calcul de l’hypoténuse
Angles
Angles aigus complémentaires
α + β = 90°
Les deux angles non droits de tout triangle rectangle font toujours 90° au total : connaître l’un donne immédiatement l’autre.
Relations métriques de la hauteur
La hauteur comme moyenne géométrique
h = √(p·q)
La hauteur issue de l’angle droit partage l’hypoténuse en deux segments p et q. La hauteur est la moyenne géométrique de ces segments, conséquence directe de la similitude des trois triangles ainsi formés.
Hauteur à partir des côtés et de l’hypoténuse
h = (a·b) / c
On l’obtient en égalant les deux formules de l’aire, (1/2)ab = (1/2)ch, puis en isolant h.
Chaque côté comme moyenne géométrique
a² = p·c, b² = q·c
Chaque côté de l’angle droit est la moyenne géométrique de l’hypoténuse entière et du segment d’hypoténuse adjacent à ce côté : c’est l’une des relations métriques du triangle rectangle.
Essayez : Calculatrice de triangle rectangle
Cercles inscrit et circonscrit
Rayon du cercle inscrit
r = (a + b − c) / 2
Le rayon du cercle inscrit dans un triangle rectangle, tangent aux trois côtés. Une identité pratique pour vérifier rapidement n’importe quel triangle résolu.
Rayon du cercle circonscrit
R = c / 2
L’hypoténuse d’un triangle rectangle est toujours un diamètre de son cercle circonscrit (théorème de Thalès), donc le rayon circonscrit vaut simplement la moitié de l’hypoténuse.
Essayez : Calculatrice de triangle rectangle
Pourquoi les relations métriques fonctionnent
Les relations de la hauteur relative à l’hypoténuse ressemblent à un ensemble de règles à part, mais elles
découlent toutes d’une seule observation : la hauteur issue de l’angle droit crée deux triangles rectangles plus
petits, tous deux semblables au triangle de départ (et entre eux), car les trois ont les mêmes angles, simplement
disposés autrement. Une fois la similitude établie, les côtés correspondants sont proportionnels, et l’égalité de
ces rapports donne directement h² = p·q, a² = p·c et b² = q·c, où p et q
sont les deux segments de l’hypoténuse découpés par la hauteur (p + q = c). Ce sont les relations
métriques dans le triangle rectangle, un exercice de démonstration classique précisément parce qu’un seul argument
de similitude débloque trois formules d’apparence indépendante.
Tout ensemble : une vérification numérique rapide
Prenons le célèbre triangle rectangle 3-4-5 : côtés a = 3, b = 4 et hypoténuse
c = 5. Le théorème de Pythagore le confirme : 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5². L’aire vaut
(1/2)(3)(4) = 6 et le périmètre 3 + 4 + 5 = 12. La hauteur relative à l’hypoténuse vaut
h = (3 × 4)/5 = 2,4 et partage l’hypoténuse en segments p = a²/c = 9/5 = 1,8 et
q = b²/c = 16/5 = 3,2 ; on a bien p + q = 1,8 + 3,2 = 5 = c, et h² = p·q se
vérifie : 2,4² = 5,76 = 1,8 × 3,2. Enfin, le rayon du cercle inscrit vaut
(3 + 4 − 5)/2 = 1 et celui du cercle circonscrit 5/2 = 2,5. Toutes les formules de cette
page sont cohérentes entre elles, et c’est exactement pourquoi elles sont utilisées ensemble dans les solutions
étape par étape de cette calculatrice.
Références
Les formules et définitions de cette page correspondent à ces références.
- Weisstein, Eric W. “Right Triangle.” MathWorld, Wolfram Research. (en anglais)
- Weisstein, Eric W. “Pythagorean Theorem.” MathWorld, Wolfram Research. (en anglais)
- “§4.14 Definitions and Periodicity (Trigonometric Functions).” NIST Digital Library of Mathematical Functions, National Institute of Standards and Technology. (en anglais)
Calculatrice de triangle rectangle
Trouvez l’aire, les côtés et les angles de n’importe quel triangle rectangle à partir de 2 valeurs.
Calcul de l’hypoténuse
Trouvez l’hypoténuse à partir des deux côtés, d’un côté et d’un angle, de l’aire ou du périmètre.
Calculatrice du théorème de Pythagore
Trouvez le côté manquant d’un triangle rectangle, ou vérifiez si 3 côtés en forment un.
Calculatrice de triangles rectangles particuliers
Résolvez les triangles 30-60-90 et 45-45-90 à partir d’un seul côté.
Calculatrice de triangle 30-60-90
Résolvez un triangle 30-60-90 à partir d’un seul côté.
Calculatrice de triangle rectangle isocèle
Résolvez un triangle rectangle isocèle (45-45-90) à partir d’un seul côté.