피타고라스 정리
a² + b² = c²
직각을 낀 두 변의 제곱의 합은 빗변의 제곱과 같습니다. 다른 두 변으로 어떤 변이든 구할 수 있습니다: c = √(a²+b²), a = √(c²−b²), b = √(c²−a²).
공식 정리
직각삼각형 공식
직각삼각형의 도형과 삼각비에 필요한 공식을 한곳에 모으고, 각 공식의 원리도 함께 설명합니다.
이 공식 정리 사용법
이 페이지의 공식은 사이트 전체와 같은 기호를 씁니다. 꼭짓점은 A, B, C이고 직각은 C입니다. 변 a(변 BC)는 꼭짓점 A의
각 α의 맞은편, 변 b(변 AC)는 꼭짓점 B의 각 β의 맞은편, 빗변은 c(변 AB), h는 C에서 빗변에
내린 수선(높이)입니다. 손으로 계산하기보다 숫자를 넣는 편이 좋다면 직각삼각형 계산기가 아래 공식을
자동으로 적용하고, 입력한 두 값에 대한 대입 과정을 단계별로 보여 줍니다.
공식은 여섯 묶음으로 나누었습니다. 피타고라스 정리, 넓이와 둘레, 세 가지 삼각비(사인·코사인·탄젠트), 두 예각의 관계, 빗변에 대한 높이의 관계, 내접원과 외접원의 반지름입니다. 이것만으로 알고 있는 값 2개가 있으면 어떤 직각삼각형이든 완전히 풀 수 있습니다.
피타고라스 정리
계산해 보기: 피타고라스 정리 계산기
직각삼각형 넓이 공식
두 변으로 구하는 넓이
넓이 = (1/2)·a·b
직각을 낀 두 변은 서로 수직이므로 하나를 "밑변", 다른 하나를 "높이"로 볼 수 있습니다. 두 변의 곱의 절반이 넓이입니다.
빗변과 높이로 구하는 넓이
넓이 = (1/2)·c·h
빗변을 밑변으로, 빗변에 내린 수선을 높이로 본 "밑변 × 높이 ÷ 2" 공식입니다.
빗변과 각도로 구하는 넓이
넓이 = (1/2)·c²·sin α·cos α
두 변은 각각 빗변에 α의 사인·코사인을 곱한 값(a = c·sin α, b = c·cos α)이므로 그 곱의 절반이 넓이입니다. 넓이 = (1/4)·c²·sin 2α로도 쓸 수 있습니다.
한 변과 각도로 구하는 넓이
넓이 = a² / (2·tan α)
변 a가 각 α의 맞은편에 있을 때 다른 변은 b = a / tan α입니다. 이를 (1/2)·a·b에 대입하면 한 변과 한 예각으로 넓이를 구할 수 있습니다.
계산해 보기: 직각삼각형 계산기
둘레
둘레
P = a + b + c
세 변(직각을 낀 두 변과 빗변)의 길이를 모두 더한 값입니다.
계산해 보기: 직각삼각형 계산기
삼각비
사인(sin)
sin(α) = 대변 / 빗변 = a / c
꼭짓점 A의 각 α에 대해 대변은 a(변 BC), 빗변은 c입니다. 정리하면 a = c·sin(α), c = a / sin(α).
코사인(cos)
cos(α) = 이웃변 / 빗변 = b / c
각 α에 대해 이웃변은 b(변 AC)입니다. 정리하면 b = c·cos(α), c = b / cos(α).
탄젠트(tan)
tan(α) = 대변 / 이웃변 = a / b
예각의 탄젠트는 대변과 이웃변의 비입니다. 직각을 낀 두 변만 알 때 각도를 구하는 데 씁니다: α = arctan(a/b).
계산해 보기: 빗변 계산기
각도
두 예각의 합
α + β = 90°
직각삼각형에서 직각이 아닌 두 각의 합은 항상 90°이므로, 하나를 알면 다른 하나도 바로 알 수 있습니다.
계산해 보기: 특수 직각삼각형 계산기
빗변에 대한 높이의 관계
높이는 두 선분의 기하평균
h = √(p·q)
직각인 꼭짓점에서 빗변에 내린 수선은 빗변을 두 선분 p와 q로 나눕니다. 높이는 이 두 선분의 기하평균이며, 이는 생기는 세 삼각형이 모두 닮음이라는 사실에서 바로 나옵니다.
두 변과 빗변으로 구하는 높이
h = (a·b) / c
두 넓이 공식 (1/2)ab = (1/2)ch를 같다고 놓고 h에 대해 풀면 나옵니다.
각 변은 기하평균
a² = p·c, b² = q·c
직각을 낀 각 변은 빗변 전체와, 그 변 쪽에 있는 빗변의 선분의 기하평균입니다.
계산해 보기: 직각삼각형 계산기
내접원과 외접원
내접원 반지름
r = (a + b − c) / 2
직각삼각형의 세 변에 모두 접하는 내접원의 반지름입니다. 푼 삼각형을 빠르게 검산할 때 유용한 식입니다.
외접원 반지름
R = c / 2
직각삼각형의 빗변은 항상 외접원의 지름이므로(탈레스 정리), 외접원의 반지름은 빗변의 절반입니다.
계산해 보기: 직각삼각형 계산기
빗변에 대한 높이의 관계가 성립하는 이유
빗변에 대한 높이의 공식들은 서로 다른 규칙처럼 보이지만, 모두 하나의 사실에서 나옵니다. 직각인 꼭짓점에서 빗변에 수선을 내리면
작은 직각삼각형 2개가 생기는데, 둘 다 원래 삼각형과(그리고 서로) 닮음입니다. 세 삼각형 모두 같은 각을 가지고 배치만 다르기
때문입니다. 닮음이면 대응하는 변의 비가 같으므로, 그 비를 같다고 놓기만 하면 h² = p·q, a² = p·c,
b² = q·c가 바로 나옵니다. 여기서 p와 q는 수선이 빗변을 나눈 두 선분입니다(p + q = c). 닮음이라는
하나의 논리로 서로 무관해 보이는 세 공식을 얻을 수 있어, 도형 증명 문제의 단골 소재입니다.
정리: 숫자로 확인하기
잘 알려진 3-4-5 직각삼각형으로 확인해 봅시다. 직각을 낀 변 a = 3, b = 4, 빗변 c = 5입니다.
피타고라스 정리는 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²로 성립합니다. 넓이는 (1/2)(3)(4) = 6, 둘레는
3 + 4 + 5 = 12입니다. 빗변에 대한 높이는 h = (3 × 4)/5 = 2.4이고, 빗변을
p = a²/c = 9/5 = 1.8과 q = b²/c = 16/5 = 3.2로 나눕니다. 실제로 p + q = 1.8 + 3.2 = 5 = c이고, h² = p·q도 2.4² = 5.76 = 1.8 × 3.2로 성립합니다. 마지막으로 내접원 반지름은
(3 + 4 − 5)/2 = 1, 외접원 반지름은 5/2 = 2.5입니다. 이 페이지의 공식은 모두 서로 맞아떨어지며, 그래서
이 계산기의 단계별 풀이에서도 함께 쓰입니다.
참고 문헌
이 페이지의 공식과 정의는 다음 표준 자료와 일치합니다.
- Weisstein, Eric W. “Right Triangle.” MathWorld, Wolfram Research. (영어)
- Weisstein, Eric W. “Pythagorean Theorem.” MathWorld, Wolfram Research. (영어)
- “§4.14 Definitions and Periodicity (Trigonometric Functions).” NIST Digital Library of Mathematical Functions, National Institute of Standards and Technology. (영어)