a² + b² = c²
피타고라스 정리 계산기
세 변 중 두 변(직각을 낀 두 변, 또는 한 변과 빗변)을 입력하면 모르는 변을 바로 구합니다.
직각삼각형의 모르는 변 구하기
이 도구는 세 변만 다룹니다(각도, 높이, 넓이, 둘레는 쓰지 않음). 피타고라스 정리에만 집중한 간단한 계산기입니다. 처음에는 지붕 서까래 예시(높이 2.5 m, 수평 거리 6 m, 피타고라스 수 5-12-13의 절반)가 입력되어 있습니다.
계산 결과
5-12-13 피타고라스 수- 변 a
- 2.5 m
- 변 b
- 6 m
- 빗변 c
- 6.5 m
- 각 α
- 22.6199°
- 각 β
- 67.3801°
- 높이 h
- 2.3077 m
- 넓이
- 7.5 m²
- 둘레
- 15 m
- 내접원 반지름
- 1 m
- 외접원 반지름
- 3.25 m
단계별 풀이
풀이 과정은 손으로 검산할 수 있도록 소수 자릿수를 더 많이 표시합니다. 답은 선택한 소수 자릿수로 반올림합니다.
- 피타고라스 정리 적용c = √(a² + b²)c = √(2.5² + 6²)= 6.5 m
- 각 α 구하기α = arctan(a / b)α = arctan(2.5 / 6)≈ 22.6199°
- 각 β 구하기β = 90° − αβ = 90° − 22.619865°≈ 67.3801°
- 넓이 계산넓이 = (1/2)·a·b넓이 = (1/2)·
2.5· 6 = 7.5 m² - 둘레 계산P = a + b + cP = 2.5 + 6 + 6.5= 15 m
- 빗변에 대한 높이 계산h = (a·b) / ch = (2.5·
6) / 6.5 ≈ 2.3077 m - 내접원 반지름r = (a + b − c) / 2r = (2.5 + 6 − 6.5) / 2= 1 m
- 외접원 반지름R = c / 2R = 6.5 / 2= 3.25 m
피타고라스 정리란?
피타고라스 정리는 "모든 직각삼각형에서 직각을 낀 두 변의 제곱의 합은 빗변의 제곱과 같다"는 정리로, 식으로 쓰면
a² + b² = c²입니다. 고대 그리스의 수학자 피타고라스의 이름을 땄지만, 바빌로니아와 인도의 수학자들은 그보다
수백 년 앞서 이 관계를 알고 사용했습니다. 수학에서 가장 오래되고 가장 많이 증명된 정리 중 하나로, 증명 방법이 수백 가지나
됩니다.
이 정리가 유용한 이유는 직접 재지 않고도 변의 길이를 구할 수 있기 때문입니다. 각 변에 대해 정리하면, 직각을 낀 두 변을 알 때
c = √(a² + b²), 빗변과 한 변을 알 때 a = √(c² − b²), 마찬가지로 b = √(c² − a²)입니다.
계산 예시: 지붕 서까래의 길이
폭 12 m인 박공지붕 집에서 서까래는 외벽에서 용마루까지 수평으로 6 m 나아가며 2.5 m 올라갑니다. 서까래가 바로
빗변입니다. 두 변을 각각 제곱하면 6.25와 36, 더하면 42.25, 제곱근을 구하면 정확히 6.5 m입니다.
c = √(2.5² + 6²) = √42.25 = 6.5. 실제로 자를 때는 처마 길이를 더합니다. 2.5, 6, 6.5는 피타고라스 수
5-12-13을 절반으로 줄인 것으로, 5-12-13은 3-4-5 다음으로 유명한 조합입니다. 계산기의 판별 표시에도 자동으로
나타납니다.
여기서 나머지 값도 이 사이트 공통의 공식으로 구할 수 있습니다. 넓이 = (1/2)·2.5·6 = 7.5 m², 둘레 =
2.5 + 6 + 6.5 = 15 m, 빗변에 대한 높이 = (2.5·6)/6.5 ≈ 2.308 m, 내접원 반지름 =
(2.5 + 6 − 6.5)/2 = 1 m, 외접원 반지름 = 6.5/2 = 3.25 m입니다. 지붕의 경사각은
α = arctan(2.5/6) ≈ 22.62°입니다.
직각삼각형인지 판별하기: 피타고라스 정리의 역
피타고라스 정리는 거꾸로도 성립합니다. 짧은 두 변의 제곱의 합이 가장 긴 변의 제곱과 같으면 그 삼각형은 반드시 직각삼각형입니다. 이것이 피타고라스 정리의 역이며, 세 길이가 직각을 이루는지는 다음 순서로 확인합니다.
- 가장 긴 변을
c, 나머지 두 변을a,b라고 합니다. a² + b²와c²를 계산합니다.- 같으면 직각삼각형입니다.
a² + b² > c²이면 예각삼각형, 작으면 둔각삼각형입니다.
5, 12, 13은 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13²이므로 직각삼각형입니다. 4, 5, 6은 4² + 5² = 41이고
6² = 36이므로 직각삼각형이 아닙니다(예각삼각형입니다). 위 계산기를 쓰는 지름길도 있습니다. 짧은 두 변을 직각을 낀
변으로 입력해서 나온 빗변이 세 번째 변과 같으면 직각삼각형입니다. 목수가 3-4-5 법칙으로 직각을 확인하는 것도 같은 원리입니다.
이 계산기가 유용한 경우
알고 있는 것이 세 변 중 두 변의 길이뿐일 때 사용하세요. 예를 들어 액자, 벽 모서리, 화단이 정말 직각인지 두 변과 대각선을 재어 확인할 때나, 벽까지의 거리와 닿아야 할 높이로 필요한 사다리 길이를 구할 때입니다. 각도, 높이, 넓이, 둘레를 알고 있다면 8가지 값 중 아무 2개로나 풀 수 있는 직각삼각형 계산기를 사용하세요. 두 번째 변 대신 각도를 알고 있다면 빗변 계산기가 편리합니다.
피타고라스 정리 자주 묻는 질문
피타고라스 정리를 쓰려면 세 변을 모두 알아야 하나요?
아니요. 세 변 중 두 변만 있으면 됩니다. 직각을 낀 두 변을 알면 각각 제곱해 더한 뒤 제곱근을 구하면 빗변이 됩니다. 빗변과 한 변을 알면 빗변의 제곱에서 한 변의 제곱을 빼고 제곱근을 구하면 나머지 변이 됩니다.
입력한 빗변과 변이 거부되는 이유는 무엇인가요?
입력한 변이 빗변보다 길거나 같기 때문입니다. 빗변은 직각삼각형에서 항상 가장 긴 변이므로 도형으로 존재할 수 없습니다. 어떤 값이 빗변인지 확인한 뒤 다시 입력해 주세요.
세 변이 직각삼각형인지 어떻게 확인하나요?
짧은 두 변을 각각 제곱해서 더합니다. 그 합이 가장 긴 변의 제곱과 같으면 직각삼각형이고, 다르면 아닙니다. 5, 12, 13은 25 + 144 = 169 = 13²이므로 직각삼각형입니다. 4, 5, 6은 16 + 25 = 41로 36이 아니므로 직각삼각형이 아닙니다.
피타고라스 정리는 모든 삼각형에 쓸 수 있나요?
아니요, 직각삼각형에만 쓸 수 있습니다. 다른 삼각형에는 일반화된 코사인 법칙 c² = a² + b² − 2ab·cos(C)를 씁니다. 각 C가 90°이면 cos(90°) = 0이므로 코사인 법칙은 정확히 피타고라스 정리가 됩니다.
더 일반적인 질문은 직각삼각형 자주 묻는 질문에서 확인하세요.
이 페이지 인용하기
과제나 보고서에서 이 계산기를 인용할 때는 다음 형식(APA 스타일)을 쓸 수 있습니다.
Right Triangle Calculators. (2026, 10월 10일). 피타고라스 정리 계산기. https://righttrianglecalculators.com/ko/pythagorean-theorem-calculator
참고 문헌
이 페이지의 공식과 정의는 다음 표준 자료와 일치합니다.
- Weisstein, Eric W. “Pythagorean Theorem.” MathWorld, Wolfram Research. (영어)
- Joyce, David E. (ed.) “Euclid’s Elements, Book I, Proposition 47.” Clark University. (영어)
- Weisstein, Eric W. “Pythagorean Triple.” MathWorld, Wolfram Research. (영어)