a² + b² = c²

三平方の定理の計算

3辺のうち2辺（直角をはさむ2辺、または1辺と斜辺）を入力すると、残りの1辺をすぐに求めます。

最終確認日: 2026年10月10日

直角三角形の残りの辺を求める

このツールは3辺だけを扱います（角度・高さ・面積・周の長さは使いません）。三平方の定理だけに絞った、シンプルな計算機です。最初は屋根の垂木の例（高さ 2.5 m、水平距離 6 m。ピタゴラス数 5-12-13 の半分）が入っています。

計算結果

5-12-13 のピタゴラス数

辺 a: 2.5 m
辺 b: 6 m
斜辺 c: 6.5 m
角 α: 22.6199°
角 β: 67.3801°
高さ h: 2.3077 m
面積: 7.5 m²
周の長さ: 15 m
内接円の半径: 1 m
外接円の半径: 3.25 m

途中式（ステップごとの解き方）

途中の計算は手で確かめられるよう桁を多めに表示しています。答えは選んだ小数点以下の桁数に丸めています。

三平方の定理を使う

c = √(a² + b²)

c = √(2.5² + 6²)

= 6.5 m
角 α を求める

α = arctan(a / b)

α = arctan(2.5 / 6)

≈ 22.6199°
角 β を求める

β = 90° − α

β = 90° − 22.619865°

≈ 67.3801°
面積を計算する

面積 = (1/2)·a·b

面積 = (1/2)·2.5·6

= 7.5 m²
周の長さを計算する

P = a + b + c

P = 2.5 + 6 + 6.5

= 15 m
斜辺への高さを計算する

h = (a·b) / c

h = (2.5·6) / 6.5

≈ 2.3077 m
内接円の半径

r = (a + b − c) / 2

r = (2.5 + 6 − 6.5) / 2

= 1 m
外接円の半径

R = c / 2

R = 6.5 / 2

= 3.25 m

三平方の定理とは

三平方の定理は「どの直角三角形でも、直角をはさむ2辺の2乗の和は斜辺の2乗に等しい」という定理で、式で書くと a² + b² = c² です。古代ギリシャの数学者ピタゴラスにちなんでピタゴラスの定理とも呼ばれますが、バビロニアやインドの数学者はそれより何世紀も前からこの関係を知っていました。数学で最も古く、最も多くの証明がある定理の1つで、証明の方法は数百通りもあります。

この定理が便利なのは、辺を直接測らなくても長さを求められるからです。各辺について解くと、直角をはさむ2辺がわかるときは c = √(a² + b²)、斜辺と1辺がわかるときは a = √(c² − b²)、同様に b = √(c² − a²) です。

計算例：屋根の垂木の長さ

幅 12 m の切妻屋根の家では、垂木は外壁から棟まで水平に 6 m 進み、その間に 2.5 m 上がります。垂木はこの直角三角形の斜辺です。2辺をそれぞれ2乗すると 6.25 と 36、足すと 42.25、平方根をとるとちょうど 6.5 m です。c = √(2.5² + 6²) = √42.25 = 6.5。実際に切るときは軒の出の分を足します。2.5、6、6.5 はピタゴラス数 5-12-13 をちょうど半分にした組で、5-12-13 は 3-4-5 に次いで有名なピタゴラス数です。計算機の判定欄にも自動で表示されます。

そこからほかの値も、このサイト共通の公式で求まります。面積 = (1/2)·2.5·6 = 7.5 m²、周の長さ = 2.5 + 6 + 6.5 = 15 m、斜辺への高さ = (2.5·6)/6.5 ≈ 2.308 m、内接円の半径 = (2.5 + 6 − 6.5)/2 = 1 m、外接円の半径 = 6.5/2 = 3.25 m です。屋根の傾きの角度は α = arctan(2.5/6) ≈ 22.62° です。

直角三角形かどうかの判定：三平方の定理の逆

三平方の定理は逆も成り立ちます。短い2辺の2乗の和が最も長い辺の2乗に等しければ、その三角形は必ず直角三角形です。これが三平方の定理の逆で、3つの長さが直角をつくるかどうかは次の手順で確かめられます。

最も長い辺を c、ほかの2辺を a、b とします。
a² + b² と c² を計算します。
等しければ直角三角形です。a² + b² > c² なら鋭角三角形、小さければ鈍角三角形です。

5、12、13 なら 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13² なので直角三角形です。4、5、6 なら 4² + 5² = 41、6² = 36 なので直角三角形ではありません（鋭角三角形です）。上の計算機を使う近道もあります。短い2辺を直角をはさむ辺として入力し、表示された斜辺が3辺目と一致すれば直角三角形です。大工さんが「3・4・5」で直角を確かめるのも同じ考え方です。

この計算機が役立つ場面

手元にあるのが3辺のうち2辺の長さだけのときに使います。たとえば、額縁や壁の角、花壇が本当に直角かを2辺と対角線を測って確かめるときや、壁からの距離と届かせたい高さから必要なはしごの長さを求めるときです。角度・高さ・面積・周の長さがわかっているなら、8つの値のうちどの2つからでも解ける直角三角形の計算をお使いください。2辺目の代わりに角度がわかっているときは斜辺の計算が便利です。

三平方の定理のよくある質問

三平方の定理を使うには3辺すべてが必要ですか？

いいえ、必要なのは3辺のうち2辺だけです。直角をはさむ2辺がわかっていれば、それぞれを2乗して足し、平方根をとると斜辺になります。斜辺と1辺がわかっていれば、斜辺の2乗から1辺の2乗を引いて平方根をとると、残りの辺になります。

入力した斜辺と辺が受け付けられないのはなぜですか？

入力した辺が斜辺以上の長さになっているためです。斜辺は直角三角形でいつも最も長い辺なので、それは図形としてありえません。どの値が斜辺かを確認して、もう一度入力してください。

3辺が直角三角形になるかはどう確かめますか？

短い2辺をそれぞれ2乗して足します。その合計が最も長い辺の2乗と等しければ直角三角形、そうでなければ直角三角形ではありません。5、12、13 なら 25 + 144 = 169 = 13² なので直角三角形です。4、5、6 なら 16 + 25 = 41 で 36 にならないので、直角三角形ではありません。

三平方の定理はどんな三角形にも使えますか？

いいえ、直角三角形だけです。ほかの三角形では、一般化した余弦定理 c² = a² + b² − 2ab·cos(C) を使います。角 C が 90° のとき cos(90°) = 0 なので、余弦定理はちょうど三平方の定理になります。

より一般的な質問は直角三角形のよくある質問をご覧ください。

このページを引用する

課題やレポートでこの計算機を引用するときは、次の形式（APA スタイル）を使えます。

Right Triangle Calculators. (2026, 10月10日). 三平方の定理の計算. https://righttrianglecalculators.com/ja/pythagorean-theorem-calculator

参考文献

このページの公式と定義は、次の標準的な資料と一致しています。

Weisstein, Eric W. “Pythagorean Theorem.” MathWorld, Wolfram Research.（英語）
Joyce, David E. (ed.) “Euclid’s Elements, Book I, Proposition 47.” Clark University.（英語）
Weisstein, Eric W. “Pythagorean Triple.” MathWorld, Wolfram Research.（英語）

斜辺の計算

2辺、1辺と角度、面積、周の長さから斜辺を求めます。

直角三角形の計算

2つの値から、直角三角形の面積・辺・角度をすべて求めます。

特別な直角三角形の計算

30-60-90 と 45-45-90 の三角形を1辺から解きます。

30-60-90 三角形の計算

30°・60°・90° の三角形を1辺から解きます。

直角二等辺三角形の計算

45-45-90 の直角二等辺三角形を1辺から解きます。

直角三角形の公式

直角三角形の公式を1ページにまとめた一覧です。