直角三角形のよくある質問

内角の1つがちょうど 90° の三角形です。直角の向かいにある辺を斜辺といい、いつも最も長い辺です。残りの2辺は直角をはさむ辺です。ほかの2つの角は鋭角で、和はいつも 90° です。

直角三角形がもつ8つの値（直角をはさむ2辺、斜辺、2つの鋭角、斜辺への高さ、面積、周の長さ）のうち、わかっている2つを入力します。ソルバーが対応する公式（簡単な公式がない2つの組み合わせでは二分法による数値計算）を選んで三角形全体を求め、縮尺どおりの図と一緒にすべての途中式を表示します。

2つの角だけの組み合わせ以外なら、どの組み合わせでもかまいません。2つの角では三角形の形は決まっても大きさが決まらないので、長さ・高さ・面積・周の長さのいずれかが必要です。直角をはさむ2辺、斜辺、1つの角、斜辺への高さ、面積、周の長さのそれ以外の組み合わせにはすべて対応しています。

独立した値がちょうど2つで、そのうち少なくとも1つは大きさを決めるもの（長さ、面積、周の長さ）である必要があります。直角は 90° に決まっていて、2つの鋭角の和も 90° なので、直角三角形に残る自由度は「形」と「大きさ」の2つだけです。だから適切に選んだ2つの値があれば必ず解けます。

三平方の定理は a² + b² = c² で、a と b は直角をはさむ2辺、c は斜辺です。直角をはさむ2辺を1辺とする正方形の面積の和が、斜辺を1辺とする正方形の面積とちょうど等しくなるため成り立ちます。この関係は2000年以上前から知られる、いくつもの図形の切り分けによる証明で示せます。

直角をはさむ2辺がわかっていれば、それぞれの2乗の和の平方根をとります：c = √(a² + b²)。1辺と1つの鋭角がわかっていれば、どちらの辺かに応じて、その角の sin か cos で辺を割ります。この計算機は両方の場合（とほかのいくつかの場合）を自動で処理します。

2辺がわかっていれば三平方の定理を使います。斜辺なら c = √(a² + b²)、直角をはさむ辺なら a = √(c² − b²) です。1辺と1つの鋭角がわかっていれば三角比を使います。たとえば a = c·sin α、b = c·cos α です。直角三角形の計算機は、入力した2つの値に合う公式を自動で選びます。

三平方の定理の逆で3辺を確かめます。短い2辺の2乗の和が最も長い辺の2乗と等しければ直角三角形です。たとえば 8、15、17 は 64 + 225 = 289 = 17² なので直角三角形です。どれかの角がちょうど 90° かを確かめる方法もあります。

なりません。そもそも三角形になりません。三角形では、どの2辺の和も残りの1辺より長くなければいけませんが、1 + 2 = 3 なので3本の線分は一直線上に重なってしまいます。三平方の定理でも 1² + 2² = 5 で 3² = 9 にならないので、条件を満たしません。

面積 = ½·c²·sin α·cos α を使います。斜辺 10、角 30° なら ½ × 100 × 0.5 × (√3/2) ≈ 21.65 です。2辺は c·sin α = 5 と c·cos α ≈ 8.66 で、その積の半分も同じ面積になります。

直角の頂点から斜辺に下ろした垂線のことです。元の三角形を、元の三角形とも互いとも相似な2つの小さな直角三角形に分けます。長さは (a·b)/c、つまり直角をはさむ2辺の積を斜辺で割った値です。

内接円の半径 r は、三角形の内側で3辺すべてに接する円の半径で、(a + b − c) / 2 です。外接円の半径 R は3つの頂点を通る円の半径で、直角三角形では斜辺がその円の直径になるため、いつも斜辺の半分 c / 2 です。

a² + b² = c² を満たす3つの正の整数 (a, b, c) の組で、(3, 4, 5) や (5, 12, 13) などがあります。辺がこれらの組に比例する直角三角形は、(6, 8, 10) のような拡大したものも含めて、この計算機の判定欄に表示されます。

45-45-90 の三角形（直角二等辺三角形。直角をはさむ2辺が等しく、斜辺 = 辺 × √2）と、30-60-90 の三角形（辺の比 1 : √3 : 2）のことです。辺の比が正確で覚えやすく、1辺だけから電卓なしで解けるため「特別」と呼ばれます。

いいえ。直角三角形に必要なのは 90° の角1つだけで、残りの2つは和が 90° になる鋭角ならどんな組み合わせでもかまいません（30° と 60°、36.87° と 53.13° など）。45-45-90 の三角形は直角をはさむ2辺が等しい特別な場合で、辺の比は 1 : 1 : √2 です。

ありません。三角形の内角の和はいつも 180° です。90° の角が2つあるとそれだけで 180° になり、3つ目の角に残る分がなくなるので、三角形としてありえません。

ミリメートル、センチメートル、メートル、キロメートル、インチ、フィート、ヤード、マイルに加え、単位のない数値だけで計算する「単位なし」も選べます。単位はいつでも切り替えられ、入力済みの値と結果は自動で換算されるので、最初から計算し直す必要はありません。「単位なし」との切り替えでは、数値はそのまま変わりません。

はい。計算するたびに、入力値がパラメーターとしてページの URL に反映されます。その URL をコピーして共有したりブックマークしたりすれば、次に開いたときに同じ値・単位・角度の設定が復元されます。

どちらでもかまいません。角度の単位の切り替えボタンで変更できます。計算機は内部では常に正確なラジアンで計算し、表示のときだけ換算するので、途中で切り替えても三角形そのものは変わらず、角度の表示と入力の形式だけが変わります。