FAQ zum rechtwinkligen Dreieck

Ein rechtwinkliges Dreieck ist jedes Dreieck mit einem Innenwinkel von genau 90°. Die Seite gegenüber dem rechten Winkel heißt Hypotenuse und ist immer die längste Seite; die beiden anderen Seiten heißen Katheten. Die beiden übrigen Winkel sind spitz und ergeben zusammen immer 90°.

Geben Sie zwei der acht Größen ein, die ein rechtwinkliges Dreieck haben kann: die beiden Katheten, die Hypotenuse, die beiden spitzen Winkel, die Höhe auf die Hypotenuse, die Fläche oder den Umfang. Der Löser wählt die passende geschlossene Formel (bzw. für die beiden Kombinationen ohne einfache algebraische Formel ein numerisches Bisektionsverfahren), rekonstruiert das ganze Dreieck und zeigt jeden Rechenschritt neben einer maßstäblichen Skizze.

Jedes Paar außer zwei Winkeln allein, denn zwei Winkel legen nur die Form, nicht aber die Größe des Dreiecks fest – Sie brauchen zusätzlich eine Länge, die Höhe, die Fläche oder den Umfang. Alle anderen Kombinationen aus den beiden Katheten, der Hypotenuse, einem Winkel, der Höhe auf die Hypotenuse, der Fläche und dem Umfang werden unterstützt.

Genau zwei unabhängige Werte, von denen mindestens einer die Größe festlegt (eine Länge, eine Fläche oder ein Umfang). Da der rechte Winkel bereits 90° beträgt und die beiden spitzen Winkel zusammen 90° ergeben müssen, bleiben einem rechtwinkligen Dreieck nur zwei Freiheitsgrade – Form und Größe –, also reichen zwei gut gewählte Werte immer aus.

Der Satz des Pythagoras lautet a² + b² = c², wobei a und b die Katheten und c die Hypotenuse sind. Er gilt, weil die Flächen der Quadrate über den beiden Katheten zusammen genau die Fläche des Quadrats über der Hypotenuse ergeben – ein Zusammenhang, der sich mit mehreren klassischen Zerlegungsbeweisen zeigen lässt, die über zweitausend Jahre alt sind.

Kennen Sie beide Katheten, ziehen Sie die Wurzel aus der Summe ihrer Quadrate: c = √(a² + b²). Kennen Sie stattdessen eine Kathete und einen spitzen Winkel, teilen Sie die Kathete durch den Sinus oder Kosinus dieses Winkels – je nachdem, welche Kathete Sie haben. Dieser Rechner erledigt beide Fälle (und einige weitere) automatisch.

Mit zwei bekannten Seiten nutzen Sie den Satz des Pythagoras: c = √(a² + b²) für die Hypotenuse oder a = √(c² − b²) für eine Kathete. Mit einer Seite und einem spitzen Winkel hilft die Trigonometrie, zum Beispiel a = c·sin α und b = c·cos α. Der Rechner wählt für Ihre zwei Werte automatisch die richtige Formel.

Prüfen Sie die Seiten mit der Umkehrung des Satzes des Pythagoras: Ergeben die Quadrate der beiden kürzeren Seiten zusammen das Quadrat der längsten Seite, ist das Dreieck rechtwinklig. Zum Beispiel passt 8, 15, 17, denn 64 + 225 = 289 = 17². Sie können auch prüfen, ob ein Winkel genau 90° misst.

Nein. Es ist nicht einmal ein Dreieck. Zwei Seiten eines Dreiecks müssen zusammen länger sein als die dritte, aber 1 + 2 = 3 – die drei Strecken liegen also flach auf einer Geraden. Den Pythagoras-Test bestehen sie auch nicht, denn 1² + 2² = 5 und nicht 3² = 9.

Mit A = ½·c²·sin α·cos α. Bei einer Hypotenuse von 10 und einem Winkel von 30° ergibt das ½ × 100 × 0,5 × (√3/2) ≈ 21,65. Die Katheten sind c·sin α = 5 und c·cos α ≈ 8,66, und ihr halbes Produkt ergibt dieselbe Fläche.

Die Strecke, die vom Eckpunkt mit dem rechten Winkel senkrecht auf die Hypotenuse gefällt wird. Sie teilt das Dreieck in zwei kleinere rechtwinklige Dreiecke, die dem ursprünglichen und einander ähnlich sind, und ihre Länge ist (a·b)/c – das Produkt der Katheten geteilt durch die Hypotenuse.

Der Inkreisradius r ist der Radius des Kreises im Inneren des Dreiecks, der alle drei Seiten berührt; er beträgt (a + b − c) / 2. Der Umkreisradius R ist der Radius des Kreises durch alle drei Eckpunkte; beim rechtwinkligen Dreieck ist er immer die halbe Hypotenuse, c / 2, weil die Hypotenuse ein Durchmesser dieses Kreises ist (Satz des Thales).

Ein pythagoreisches Tripel besteht aus drei positiven ganzen Zahlen (a, b, c) mit a² + b² = c², etwa (3, 4, 5) oder (5, 12, 13). Jedes rechtwinklige Dreieck, dessen Seiten proportional zu einem solchen Tripel sind – auch vergrößerte Versionen wie (6, 8, 10) –, wird vom Klassifizierungs-Hinweis dieses Rechners gekennzeichnet.

Das 45-45-90-Dreieck (gleichschenklig-rechtwinklig, gleich lange Katheten, Hypotenuse = Kathete×√2) und das 30-60-90-Dreieck (Seitenverhältnis 1 : √3 : 2) heißen „besonders“, weil ihre Seitenverhältnisse exakt und leicht zu merken sind – so lassen sie sich ohne Taschenrechner aus einer einzigen Seite berechnen.

Nein. Ein rechtwinkliges Dreieck braucht nur einen 90°-Winkel, die beiden anderen können beliebige spitze Winkel sein, die zusammen 90° ergeben, etwa 30° und 60° oder 36,87° und 53,13°. Das 45-45-90-Dreieck ist der Sonderfall mit gleich langen Katheten; seine Seiten stehen im Verhältnis 1 : 1 : √2.

Nein. Die Innenwinkel jedes Dreiecks ergeben zusammen immer 180°. Zwei 90°-Winkel ergäben schon allein 180°, und für den dritten Winkel bliebe nichts übrig – das ist bei einem Dreieck unmöglich.

Millimeter, Zentimeter, Meter, Kilometer, Zoll, Fuß, Yard und Meilen, dazu die Option „Ohne Einheit“ für reine Zahlen. Wechseln Sie die Einheit jederzeit über die Auswahl; eingegebene Werte und Ergebnisse werden automatisch umgerechnet, ohne dass Sie neu rechnen müssen. Beim Wechsel zu oder von „Ohne Einheit“ bleiben die Zahlen unverändert.

Ja. Bei jeder Berechnung wird die Adresse der Seite mit Ihren Eingaben als Parameter aktualisiert. Kopieren Sie diese Adresse zum Teilen oder speichern Sie sie als Lesezeichen – beim erneuten Öffnen werden dieselben Werte, dieselbe Einheit und dasselbe Winkelmaß wiederhergestellt.

Beides geht – wechseln Sie über den Schalter für das Winkelmaß. Intern rechnet der Rechner immer exakt im Bogenmaß und rechnet nur für die Anzeige um. Ein Wechsel während der Berechnung ändert also nie das Dreieck, sondern nur, wie der Winkel angezeigt und eingegeben wird.