30-60-90 • 45-45-90

Rechner für besondere rechtwinklige Dreiecke

Wählen Sie 30-60-90 oder 45-45-90, geben Sie eine Seite ein und erhalten Sie sofort die übrigen Seiten, Fläche und Umfang – mit jedem Rechenschritt.

Zuletzt geprüft:

Besonderes rechtwinkliges Dreieck berechnen

Wählen Sie den Dreieckstyp und geben Sie einen einzigen Wert ein: eine Kathete, die Hypotenuse, die Höhe, die Fläche oder den Umfang. Voreingestellt ist ein 30-60-90-Zeichendreieck aus einem Geometrie-Set mit einer Hypotenuse von 25 cm.

Dreieckstyp

Einen bekannten Wert eingeben

Füllen Sie ein Feld aus. Die Winkel sind fest vorgegeben, alles andere wird automatisch berechnet.

Winkel α = 30° (fest)
Winkelmaß

Ergebnisse

Rechtwinkliges 30-60-90-Dreieck
Kathete a
12,5 cm
Kathete b
21,6506 cm
Hypotenuse c
25 cm
Winkel α
30°
Winkel β
60°
Höhe h
10,8253 cm
Fläche
135,3165 cm²
Umfang
59,1506 cm
Inkreisradius
4,5753 cm
Umkreisradius
12,5 cm
Skizze des Rechners für besondere rechtwinklige Dreiecke: 30-60-90-Dreieck Ein 30-60-90-Zeichendreieck: kurze Kathete 12,5 Zentimeter, lange Kathete 21,65 Zentimeter und Hypotenuse 25 Zentimeter. A B C a = 12,5 cm b ≈ 21,6506 cm c = 25 cm α = 30° β = 60°

Lösungsweg Schritt für Schritt

Der Rechenweg zeigt zusätzliche Nachkommastellen, damit Sie ihn von Hand nachrechnen können. Die Ergebnisse sind auf die gewählten Nachkommastellen gerundet.

  1. Kathete a berechnen
    a = c·sin(α)
    a = 25·sin(30°)
    = 12,5 cm
  2. Kathete b berechnen
    b = c·cos(α)
    b = 25·cos(30°)
    ≈ 21,6506 cm
  3. Winkel β berechnen
    β = 90° − α
    β = 90° − 30°
    = 60°
  4. Fläche berechnen
    Fläche = (1/2)·a·b
    Fläche = (1/2)·12,5·21,650635
    ≈ 135,3165 cm²
  5. Umfang berechnen
    P = a + b + c
    P = 12,5 + 21,650635 + 25
    ≈ 59,1506 cm
  6. Höhe auf die Hypotenuse berechnen
    h = (a·b) / c
    h = (12,5·21,650635) / 25
    ≈ 10,8253 cm
  7. Inkreisradius (Radius des Inkreises)
    r = (a + b − c) / 2
    r = (12,5 + 21,650635 − 25) / 2
    ≈ 4,5753 cm
  8. Umkreisradius (Radius des Umkreises)
    R = c / 2
    R = 25 / 2
    = 12,5 cm

Was sind besondere rechtwinklige Dreiecke?

Besondere rechtwinklige Dreiecke sind rechtwinklige Dreiecke, deren Winkel den Seiten ein festes, exaktes Verhältnis vorgeben. Es gibt zwei: das 45-45-90-Dreieck und das 30-60-90-Dreieck. Weil sich das Verhältnis nie ändert, reicht eine einzige Messung, um das ganze Dreieck zu berechnen – oft ganz ohne Trigonometrie. Deshalb tauchen sie so häufig im Geometrieunterricht, in Klassenarbeiten und in Trigonometrietabellen auf.

Dreieck Winkel Seitenverhältnis Fläche (aus kürzester Seite s)
45-45-90 45°, 45°, 90° 1 : 1 : √2 s² / 2
30-60-90 30°, 60°, 90° 1 : √3 : 2 (√3 / 2) × s²

So berechnen Sie ein 45-45-90-Dreieck

Ein 45-45-90-Dreieck ist gleichschenklig-rechtwinklig: Beide Katheten sind gleich lang, und die Hypotenuse ist eine Kathete mal √2. Kennen Sie eine Kathete s, ist die Hypotenuse s√2. Kennen Sie die Hypotenuse c, ist jede Kathete c / √2. Das 45°-Zeichendreieck aus einem Geometrie-Set mit Katheten von 20 cm hat zum Beispiel eine Hypotenuse von 20√2 ≈ 28,284 cm und eine Fläche von 20² / 2 = 200 cm². Mehr Details und Beispiele bietet der Rechner für gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke.

So berechnen Sie ein 30-60-90-Dreieck

Im 30-60-90-Dreieck liegt die kurze Kathete dem 30°-Winkel gegenüber, die lange Kathete dem 60°-Winkel, und die Hypotenuse ist immer genau doppelt so lang wie die kurze Kathete. Aus einer kurzen Kathete s folgt die lange Kathete s√3 und die Hypotenuse 2s. Das oben voreingestellte 30-60-90-Zeichendreieck hat eine Hypotenuse von 25 cm, also ist die kurze Kathete 25 / 2 = 12,5 cm, die lange Kathete 12,5√3 ≈ 21,651 cm und die Fläche ½ × 12,5 × 12,5√3 ≈ 135,32 cm². Der 30-60-90-Dreieck-Rechner behandelt diesen Fall ausführlicher.

Woher die besonderen rechtwinkligen Dreiecke kommen

Schneiden Sie ein Quadrat entlang der Diagonale durch, erhalten Sie zwei 45-45-90-Dreiecke. Halbieren Sie ein gleichseitiges Dreieck von einer Ecke zur Mitte der gegenüberliegenden Seite, erhalten Sie zwei 30-60-90-Dreiecke. Diese beiden Formen erklären beide Verhältnisse: Die Diagonale eines Einheitsquadrats ist √2, und die Hälfte eines gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge 2 hat eine kurze Kathete von 1 und eine Höhe von √3. In der Praxis begegnen sie Ihnen bei Dachneigungen, Treppenwangen, Fliesenmustern und überall, wo Quadrate oder Sechsecke im Spiel sind.

Hat Ihr Dreieck einen anderen Winkel, ist es kein besonderes rechtwinkliges Dreieck. Nutzen Sie dann den allgemeinen Rechner für rechtwinklige Dreiecke, der jedes rechtwinklige Dreieck aus zwei bekannten Werten löst, einschließlich Fläche und Winkeln.

FAQ zu besonderen rechtwinkligen Dreiecken

Welche sind die beiden besonderen rechtwinkligen Dreiecke?

Das 45-45-90-Dreieck (ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten 1 : 1 : √2) und das 30-60-90-Dreieck (Seiten 1 : √3 : 2). Sie heißen besonders, weil ihr Seitenverhältnis exakt ist – eine Seite genügt, um die beiden anderen zu bestimmen.

Wie viele Werte brauche ich für ein besonderes rechtwinkliges Dreieck?

Nur einen. Die Winkel stehen bereits fest, also legt eine einzige Seite, die Fläche, der Umfang oder die Höhe die Größe des Dreiecks fest. Ein allgemeines rechtwinkliges Dreieck braucht zwei Werte.

Woran erkenne ich, welches besondere rechtwinklige Dreieck ich habe?

An den Winkeln oder den Katheten. Sind beide Katheten gleich lang oder beide spitzen Winkel 45°, ist es ein 45-45-90-Dreieck. Ist ein Winkel 30° oder 60° oder die Hypotenuse genau doppelt so lang wie die kürzeste Seite, ist es ein 30-60-90-Dreieck.

Worin unterscheidet sich ein 30-60-90-Dreieck von einem 45-45-90-Dreieck?

Ein 30-60-90-Dreieck ist unregelmäßig: Alle drei Seiten sind verschieden lang, im Verhältnis 1 : √3 : 2. Ein 45-45-90-Dreieck ist gleichschenklig: Die beiden Katheten sind gleich lang, im Verhältnis 1 : 1 : √2. Beide heißen „besondere“ rechtwinklige Dreiecke, weil sich ihre exakten Verhältnisse ohne Taschenrechner herleiten lassen – sie entstehen aber aus verschiedenen Konstruktionen (halbes gleichseitiges Dreieck gegenüber halbem Quadrat).

Gibt es noch andere besondere rechtwinklige Dreiecke?

Die meisten Lehrbücher nennen nur diese beiden, die wegen ihrer Winkel besonders sind: Ihre Winkel stehen in einfachen Verhältnissen (1 : 1 : 2 und 1 : 2 : 3), und ihre Seiten folgen Verhältnissen mit √2 und √3. Manche Bücher nennen auch rechtwinklige Dreiecke mit ganzzahligen Seiten wie 3-4-5 und 5-12-13 besonders; das sind pythagoreische Tripel, die der Rechner ebenfalls kennzeichnet. Jedes andere rechtwinklige Dreieck braucht den allgemeinen Rechner und zwei bekannte Werte.

Allgemeinere Fragen beantwortet die vollständige FAQ zum rechtwinkligen Dreieck.

Diese Seite zitieren

Um diesen Rechner in einer Hausarbeit oder einem Bericht zu zitieren, können Sie diese Quellenangabe verwenden (APA-Stil):

Right Triangle Calculators. (2026, 10. Oktober). Rechner für besondere rechtwinklige Dreiecke. https://righttrianglecalculators.com/de/besondere-rechtwinklige-dreiecke-rechner

Quellen

Die Formeln und Definitionen auf dieser Seite stimmen mit diesen Standardquellen überein.

  1. Weisstein, Eric W. “Isosceles Right Triangle.” MathWorld, Wolfram Research. (auf Englisch)
  2. Weisstein, Eric W. “30-60-90 Triangle.” MathWorld, Wolfram Research. (auf Englisch)
  3. Weisstein, Eric W. “Right Triangle.” MathWorld, Wolfram Research. (auf Englisch)

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