30-60-90 • 45-45-90
特別な直角三角形の計算
30-60-90 か 45-45-90 を選んで1辺を入力すると、残りの辺・面積・周の長さを途中式つきですぐに表示します。
特別な直角三角形を解く
三角形の種類を選び、値を1つだけ入力します（直角をはさむ辺、斜辺、高さ、面積、周の長さのいずれか）。最初は、斜辺が 25 cm の 30-60-90 の三角定規が入っています。
計算結果
30-60-90 の直角三角形- 辺 a
- 12.5 cm
- 辺 b
- 21.6506 cm
- 斜辺 c
- 25 cm
- 角 α
- 30°
- 角 β
- 60°
- 高さ h
- 10.8253 cm
- 面積
- 135.3165 cm²
- 周の長さ
- 59.1506 cm
- 内接円の半径
- 4.5753 cm
- 外接円の半径
- 12.5 cm
途中式（ステップごとの解き方）
途中の計算は手で確かめられるよう桁を多めに表示しています。答えは選んだ小数点以下の桁数に丸めています。
- 辺 a を求めるa = c·sin(α)a = 25·
sin(30°) = 12.5 cm - 辺 b を求めるb = c·cos(α)b = 25·
cos(30°) ≈ 21.6506 cm - 角 β を求めるβ = 90° − αβ = 90° − 30°= 60°
- 面積を計算する面積 = (1/2)·a·b面積 = (1/2)·
12.5· 21.650635 ≈ 135.3165 cm² - 周の長さを計算するP = a + b + cP = 12.5 + 21.650635 + 25≈ 59.1506 cm
- 斜辺への高さを計算するh = (a·b) / ch = (12.5·
21.650635) / 25 ≈ 10.8253 cm - 内接円の半径r = (a + b − c) / 2r = (12.5 + 21.650635 − 25) / 2≈ 4.5753 cm
- 外接円の半径R = c / 2R = 25 / 2= 12.5 cm
特別な直角三角形とは
特別な直角三角形とは、角度によって辺の比が正確に決まっている直角三角形のことです。45-45-90 の三角形と 30-60-90 の三角形の 2つがあり、ちょうど三角定規2枚の形です。比が変わらないので、1つの長さがわかれば三角形全体が解け、三角比を使わずに済むこともよくあります。そのため中学・高校の数学やテスト、三角比の表によく登場します。
| 三角形 | 角度 | 辺の比 | 面積（最も短い辺 s から） |
|---|---|---|---|
| 45-45-90 | 45°, 45°, 90° | 1 : 1 : √2 | s² / 2 |
| 30-60-90 | 30°, 60°, 90° | 1 : √3 : 2 | (√3 / 2) × s² |
45-45-90 の三角形の解き方
45-45-90 の三角形は直角二等辺三角形で、直角をはさむ2辺が等しく、斜辺はその √2 倍です。1辺 s がわかれば斜辺は s√2、斜辺 c がわかれば各辺は c / √2 です。たとえば三角定規のうち直角二等辺三角形のほうで、2辺が 20 cm のものなら、斜辺は 20√2 ≈ 28.284 cm、面積は 20² / 2 = 200 cm² です。詳しい説明と例は直角二等辺三角形の計算をご覧ください。
30-60-90 の三角形の解き方
30-60-90 の三角形では、短い辺が 30° の角の向かい、長い辺が 60° の角の向かいにあり、斜辺はいつも短い辺のちょうど2倍です。短い辺 s から、長い辺は s√3、斜辺は 2s です。上に入っている 30-60-90 の三角定規は斜辺が 25 cm なので、短い辺は 25 / 2 = 12.5 cm、長い辺は 12.5√3 ≈ 21.651 cm、面積は ½ × 12.5 × 12.5√3 ≈ 135.32 cm² です。30-60-90 三角形の計算でさらに詳しく扱っています。
特別な直角三角形はどこから生まれるか
正方形を対角線で切ると、45-45-90 の三角形が2つできます。正三角形を頂点から向かいの辺の中点まで半分に切ると、30-60-90 の三角形が2つできます。この2つの図形から両方の比が説明できます。1辺が 1 の正方形の対角線は √2、1辺が 2 の正三角形の半分は短い辺が 1、高さが √3 です。実生活でも、屋根の勾配、階段、タイルの割り付けなど、正方形や六角形が関わるところによく現れます。
ほかの角度をもつ三角形は特別な直角三角形ではありません。その場合は、わかっている2つの値から面積や角度も含めてどんな直角三角形も解ける直角三角形の計算をお使いください。
特別な直角三角形のよくある質問
特別な直角三角形とは何ですか？
45-45-90 の三角形（辺の比が 1 : 1 : √2 の直角二等辺三角形）と、30-60-90 の三角形（辺の比が 1 : √3 : 2）の2つです。辺の比が正確に決まっているので、1辺がわかれば残りの2辺が求まることから「特別」と呼ばれます。三角定規の2枚の形でもあります。
特別な直角三角形はいくつの値で解けますか？
1つだけです。角度がすでに決まっているので、1辺、面積、周の長さ、高さのどれか1つで三角形の大きさが決まります。一般の直角三角形では2つの値が必要です。
どちらの特別な直角三角形かはどう見分けますか？
角度か直角をはさむ辺を見ます。直角をはさむ2辺が等しい、または2つの鋭角がどちらも 45° なら 45-45-90 の三角形です。1つの角が 30° か 60°、または斜辺が最も短い辺のちょうど2倍なら 30-60-90 の三角形です。
30-60-90 と 45-45-90 の三角形の違いは？
30-60-90 の三角形は3辺の長さがすべて異なり、比は 1 : √3 : 2 です。45-45-90 の三角形は直角二等辺三角形で、直角をはさむ2辺が等しく、比は 1 : 1 : √2 です。どちらも比を電卓なしで導けるので「特別な直角三角形」と呼ばれますが、正三角形の半分か正方形の半分かという成り立ちが違います。
ほかにも特別な直角三角形はありますか？
ほとんどの教科書が挙げるのは、角度による特別な直角三角形であるこの2つだけです。角の比が 1 : 1 : 2 と 1 : 2 : 3 という簡単な比になり、辺の比も √2 と √3 で表せます。3-4-5 や 5-12-13 のように辺がすべて整数の直角三角形を「辺による特別な直角三角形」と呼ぶ本もあります。これはピタゴラス数で、計算機はこれも表示します。それ以外の直角三角形には、一般の計算機と2つの値が必要です。
より一般的な質問は直角三角形のよくある質問をご覧ください。
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課題やレポートでこの計算機を引用するときは、次の形式（APA スタイル）を使えます。
Right Triangle Calculators. (2026, 10月10日). 特別な直角三角形の計算. https://righttrianglecalculators.com/ja/special-right-triangle-calculator
参考文献
このページの公式と定義は、次の標準的な資料と一致しています。
- Weisstein, Eric W. “Isosceles Right Triangle.” MathWorld, Wolfram Research.（英語）
- Weisstein, Eric W. “30-60-90 Triangle.” MathWorld, Wolfram Research.（英語）
- Weisstein, Eric W. “Right Triangle.” MathWorld, Wolfram Research.（英語）