1 : 1 : √2
直角二等辺三角形の計算
2つの鋭角はどちらも 45° に固定済み。45-45-90 の三角形の1辺を入力するだけで、正確な比 1 : 1 : √2 から残りを求めます。
直角二等辺三角形を解く
角 α は 45° に固定されています（β も常に 45° で、直角をはさむ2辺は常に等しくなります）。残りの値を1つ入力してください（辺、斜辺、高さ、面積、周の長さのいずれか）。最初は、60 cm 角の正方形タイルを角から角へ切る例が入っています。
計算結果
45-45-90 の直角二等辺三角形- 辺 a
- 60 cm
- 辺 b
- 60 cm
- 斜辺 c
- 84.8528 cm
- 角 α
- 45°
- 角 β
- 45°
- 高さ h
- 42.4264 cm
- 面積
- 1800 cm²
- 周の長さ
- 204.8528 cm
- 内接円の半径
- 17.5736 cm
- 外接円の半径
- 42.4264 cm
途中式（ステップごとの解き方）
途中の計算は手で確かめられるよう桁を多めに表示しています。答えは選んだ小数点以下の桁数に丸めています。
- 斜辺を求めるc = a / sin(α)c = 60 / sin(45°)≈ 84.8528 cm
- 辺 b を求めるb = c·cos(α)b = 84.852814·
cos(45°) ≈ 60 cm - 角 β を求めるβ = 90° − αβ = 90° − 45°= 45°
- 面積を計算する面積 = (1/2)·a·b面積 = (1/2)·
60· 60 = 1800 cm² - 周の長さを計算するP = a + b + cP = 60 + 60 + 84.852814≈ 204.8528 cm
- 斜辺への高さを計算するh = (a·b) / ch = (60·
60) / 84.852814 ≈ 42.4264 cm - 内接円の半径r = (a + b − c) / 2r = (60 + 60 − 84.852814) / 2≈ 17.5736 cm
- 外接円の半径R = c / 2R = 84.852814 / 2≈ 42.4264 cm
45-45-90 が「特別な」直角三角形である理由
45-45-90 の三角形（直角二等辺三角形）は、2つの鋭角がどちらもちょうど 45° の直角三角形です。2辺の向かいの角が等しいので、その2辺の長さも等しくなり、斜辺はいつもその辺の √2 倍（約 1.41421356 倍）です。この1つの定数だけで、辺と斜辺をどちら向きにも換算でき、三角比の表は必要ありません。
この計算機は α（したがって β も）を 45° に固定し、残り6つの量（直角をはさむ辺のどちらか、斜辺、斜辺への高さ、面積、周の長さ）のどれか1つを入力できるようにしています。あとはサイト共通の汎用ソルバーが残りをすべて計算します。
計算例：60 cm 角のタイルを対角線で切る
正方形のタイルを対角線で切ると、それぞれの半分は 45-45-90 の三角形です。タイルの2辺が長さの等しい2辺になり、切り口が斜辺です。60 cm 角のタイルなら、もう1辺もちょうど 60 cm で、切り口は c = 60 × √2 ≈ 84.853 cm です。タイルカッターは対角線で 85 cm 以上切れるものが必要です。半分の面積は (1/2) × 60 × 60 = 1800 cm² で、タイル全体 3600 cm² のちょうど半分です。
残りの値もすぐに求まります。周の長さは 60 + 60 + 60√2 ≈ 204.853 cm、斜辺への高さは (60 × 60) / 84.853 ≈ 42.426 cm（45-45-90 の三角形ではいつも斜辺のちょうど半分）、内接円の半径は (60 + 60 − 60√2)/2 ≈ 17.574 cm、外接円の半径は斜辺の半分の ≈ 42.426 cm です。高さと外接円の半径が等しくなるのは偶然ではなく、2辺が等しいためにどちらも斜辺の半分になる、すべての 45-45-90 の三角形に共通の性質です。
45-45-90 の三角形が使われる場面
45-45-90 の三角形は、正方形や直角の角を対角線で切るところに必ず現れます。額縁の留め加工、木工、タイルや板を角から角へ切る作業、そして数えきれないほどの図形・三角比の問題です。30° や 60° の角をもつ三角形なら30-60-90 三角形の計算を使うか、特別な直角三角形の計算で種類を切り替えてください。ほかの角度の直角三角形には直角三角形の計算をお使いください。
直角二等辺三角形のよくある質問
直角二等辺三角形の辺の比は？
直角をはさむ2辺はいつも等しく、斜辺はいつもその √2 倍です。つまり比は 1 : 1 : √2 です。これは三平方の定理から直接わかります。2辺がどちらも x なら c = √(x² + x²) = √(2x²) = x√2 です。
45-45-90 の三角形が直角二等辺三角形と呼ばれるのはなぜですか？
二等辺とは2つの辺が等しいことです。45-45-90 の三角形では、等しい 45° の角の向かいにある直角をはさむ2辺がいつも同じ長さなので、「二等辺三角形」と「直角三角形」の両方の条件を満たします。二等辺三角形でもある直角三角形は、この形だけです。
直角二等辺三角形と正方形の関係は？
正方形に対角線を1本引くと、合同な 45-45-90 の三角形が2つできます。正方形の2辺が等しい辺に、対角線が斜辺になり、正方形の 90° の角が 45° ずつに分かれます。正方形の対角線がいつも1辺の √2 倍になる理由が、これでいちばん早くわかります。
斜辺から直角をはさむ辺を求めるには？
斜辺を √2 で割ります。各辺 = c / √2 = c × √2 / 2 で、c の約 0.7071 倍です。斜辺が 10 なら各辺は 10 / √2 = 5√2 ≈ 7.071、面積は c² / 4 = 25 です。
45-45-90 の三角形で3辺とも整数になることはありますか？
ありません。直角をはさむ2辺が整数なら、斜辺は整数 × √2 で、√2 は無理数なので整数にはなりません。斜辺が整数なら、今度は2辺が整数になりません。そのため2辺が等しいピタゴラス数は存在せず、60√2 ≈ 84.85 cm のような切り口は必ず丸めが必要です。
より一般的な質問は直角三角形のよくある質問をご覧ください。
このページを引用する
課題やレポートでこの計算機を引用するときは、次の形式（APA スタイル）を使えます。
Right Triangle Calculators. (2026, 10月10日). 直角二等辺三角形の計算. https://righttrianglecalculators.com/ja/45-45-90-triangle-calculator
参考文献
このページの公式と定義は、次の標準的な資料と一致しています。
- Weisstein, Eric W. “Isosceles Right Triangle.” MathWorld, Wolfram Research.（英語）
- Weisstein, Eric W. “Pythagoras’s Constant.” MathWorld, Wolfram Research.（英語）
- Weisstein, Eric W. “Pythagorean Theorem.” MathWorld, Wolfram Research.（英語）