1 : 1 : √2

Gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck berechnen

Beide spitzen Winkel sind auf 45° festgelegt – geben Sie nur eine Seite des 45-45-90-Dreiecks ein und erhalten Sie den Rest aus dem exakten Verhältnis 1 : 1 : √2.

Zuletzt geprüft:

Rechner für gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke

Der Winkel α ist auf 45° festgelegt (β ist also auch immer 45°, und die beiden Katheten sind immer gleich lang). Geben Sie einen weiteren Wert ein – eine Kathete, die Hypotenuse, die Höhe, die Fläche oder den Umfang. Voreingestellt ist hier eine quadratische 60-cm-Fliese, die diagonal geschnitten wird.

Einen bekannten Wert eingeben

Füllen Sie ein Feld aus. Die Winkel sind fest vorgegeben, alles andere wird automatisch berechnet.

Winkel α = 45° (fest)
Winkelmaß

Ergebnisse

Gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck (45-45-90)
Kathete a
60 cm
Kathete b
60 cm
Hypotenuse c
84,8528 cm
Winkel α
45°
Winkel β
45°
Höhe h
42,4264 cm
Fläche
1800 cm²
Umfang
204,8528 cm
Inkreisradius
17,5736 cm
Umkreisradius
42,4264 cm
Skizze des Rechners für gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke: 45-45-90-Dreieck Ein gleichschenklig-rechtwinkliges 45-45-90-Dreieck, die Hälfte einer quadratischen 60-Zentimeter-Fliese: zwei Katheten von je 60 Zentimetern und eine Hypotenuse von 84,85 Zentimetern, die Länge des Diagonalschnitts. A B C a = 60 cm b = 60 cm c ≈ 84,8528 cm α = 45° β = 45°

Lösungsweg Schritt für Schritt

Der Rechenweg zeigt zusätzliche Nachkommastellen, damit Sie ihn von Hand nachrechnen können. Die Ergebnisse sind auf die gewählten Nachkommastellen gerundet.

  1. Hypotenuse berechnen
    c = a / sin(α)
    c = 60 / sin(45°)
    ≈ 84,8528 cm
  2. Kathete b berechnen
    b = c·cos(α)
    b = 84,852814·cos(45°)
    ≈ 60 cm
  3. Winkel β berechnen
    β = 90° − α
    β = 90° − 45°
    = 45°
  4. Fläche berechnen
    Fläche = (1/2)·a·b
    Fläche = (1/2)·60·60
    = 1800 cm²
  5. Umfang berechnen
    P = a + b + c
    P = 60 + 60 + 84,852814
    ≈ 204,8528 cm
  6. Höhe auf die Hypotenuse berechnen
    h = (a·b) / c
    h = (60·60) / 84,852814
    ≈ 42,4264 cm
  7. Inkreisradius (Radius des Inkreises)
    r = (a + b − c) / 2
    r = (60 + 60 − 84,852814) / 2
    ≈ 17,5736 cm
  8. Umkreisradius (Radius des Umkreises)
    R = c / 2
    R = 84,852814 / 2
    ≈ 42,4264 cm

Was das 45-45-90-Dreieck „besonders“ macht

Ein 45-45-90-Dreieck – auch gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck genannt – ist ein rechtwinkliges Dreieck, dessen beide spitzen Winkel genau 45° betragen. Da die Winkel gegenüber den beiden Katheten gleich sind, müssen auch die Katheten gleich lang sein, und die Hypotenuse ist immer die Kathete mal √2 (etwa 1,41421356). Diese eine Konstante genügt, um zwischen Kathete und Hypotenuse in beide Richtungen umzurechnen, ganz ohne Trigonometrietabelle.

Der Rechner legt α (und damit β) auf 45° fest und lässt Sie eine beliebige der sechs übrigen Größen eingeben (eine der Katheten, die Hypotenuse, die Höhe auf die Hypotenuse, die Fläche oder den Umfang). Dann berechnet derselbe allgemeine Löser wie überall auf dieser Website den Rest.

Rechenbeispiel: eine 60-cm-Fliese diagonal schneiden

Schneiden Sie eine quadratische Fliese entlang der Diagonale, ist jede Hälfte ein 45-45-90-Dreieck: Die Fliesenkanten sind die beiden gleich langen Katheten, der Schnitt ist die Hypotenuse. Bei einer 60-cm-Fliese ist die andere Kathete ebenfalls genau 60 cm lang, und der Schnitt misst c = 60 × √2 ≈ 84,853 cm. Der Fliesenschneider muss also mindestens 85 cm diagonal schneiden können. Jede Hälfte bedeckt (1/2) × 60 × 60 = 1800 cm², genau die Hälfte der 3600 cm² der Fliese.

Der Rest des Dreiecks folgt direkt: Der Umfang ist 60 + 60 + 60√2 ≈ 204,853 cm, die Höhe auf die Hypotenuse (60 × 60) / 84,853 ≈ 42,426 cm (genau die halbe Hypotenuse, wie in jedem 45-45-90-Dreieck), der Inkreisradius (60 + 60 − 60√2)/2 ≈ 17,574 cm und der Umkreisradius die halbe Hypotenuse, ≈ 42,426 cm. Dass Höhe und Umkreisradius gleich sind, ist kein Zufall dieses Beispiels, sondern gilt für jedes 45-45-90-Dreieck: Bei gleich langen Katheten sind beide genau die halbe Hypotenuse.

Wo das 45-45-90-Dreieck vorkommt

45-45-90-Dreiecke entstehen immer dann, wenn ein Quadrat oder eine rechtwinklige Ecke entlang der Diagonale geteilt wird: Gehrungsschnitte bei Bilderrahmen, Zimmermannsarbeiten, Diagonalschnitte bei Fliesen und Platten und unzählige Geometrie- und Trigonometrieaufgaben. Hat Ihr Dreieck stattdessen einen 30°- oder 60°-Winkel, verwenden Sie den 30-60-90-Dreieck-Rechner oder wechseln Sie im Rechner für besondere rechtwinklige Dreiecke zwischen beiden Typen. Für ein rechtwinkliges Dreieck mit beliebigem Winkel nutzen Sie den vollständigen Rechner für rechtwinklige Dreiecke.

FAQ zum gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck

Welches Seitenverhältnis hat ein 45-45-90-Dreieck genau?

Die beiden Katheten sind immer gleich lang, und die Hypotenuse ist immer die Kathete mal √2 – ein Verhältnis von 1 : 1 : √2. Das folgt direkt aus dem Satz des Pythagoras: Sind beide Katheten x, dann ist c = √(x² + x²) = √(2x²) = x√2.

Warum heißt das 45-45-90-Dreieck auch gleichschenklig-rechtwinklig?

Gleichschenklig bedeutet, dass zwei Seiten gleich lang sind, und im 45-45-90-Dreieck sind die beiden Katheten (gegenüber den beiden gleichen 45°-Winkeln) immer gleich lang. Es erfüllt also die Definition von „gleichschenklig“ und „rechtwinklig“ zugleich – als einzige Form eines rechtwinkligen Dreiecks.

Was hat das 45-45-90-Dreieck mit dem Quadrat zu tun?

Eine Diagonale teilt ein Quadrat in zwei kongruente 45-45-90-Dreiecke: Zwei Quadratseiten werden zu den gleich langen Katheten, die Diagonale wird zur Hypotenuse, und jede 90°-Ecke des Quadrats wird in zwei 45°-Winkel geteilt. So sieht man am schnellsten, warum die Diagonale eines Quadrats immer Seite mal √2 ist.

Wie berechne ich die Katheten aus der Hypotenuse?

Teilen Sie die Hypotenuse durch √2: jede Kathete = c / √2 = c × √2 / 2, also etwa 0,7071 × c. Bei einer Hypotenuse von 10 ist jede Kathete 10 / √2 = 5√2 ≈ 7,071, und die Fläche ist c² / 4 = 25.

Kann ein 45-45-90-Dreieck drei ganzzahlige Seiten haben?

Nein. Sind die Katheten ganze Zahlen, ist die Hypotenuse eine ganze Zahl mal √2, und √2 ist irrational, also ist sie nie ganzzahlig; ist umgekehrt die Hypotenuse ganzzahlig, können es die Katheten nicht sein. Deshalb hat kein pythagoreisches Tripel zwei gleich lange Katheten, und ein Schnitt wie 60√2 ≈ 84,85 cm muss immer gerundet werden.

Allgemeinere Fragen beantwortet die vollständige FAQ zum rechtwinkligen Dreieck.

Diese Seite zitieren

Um diesen Rechner in einer Hausarbeit oder einem Bericht zu zitieren, können Sie diese Quellenangabe verwenden (APA-Stil):

Right Triangle Calculators. (2026, 10. Oktober). Rechner für gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke. https://righttrianglecalculators.com/de/gleichschenklig-rechtwinkliges-dreieck-rechner

Quellen

Die Formeln und Definitionen auf dieser Seite stimmen mit diesen Standardquellen überein.

  1. Weisstein, Eric W. “Isosceles Right Triangle.” MathWorld, Wolfram Research. (auf Englisch)
  2. Weisstein, Eric W. “Pythagoras’s Constant.” MathWorld, Wolfram Research. (auf Englisch)
  3. Weisstein, Eric W. “Pythagorean Theorem.” MathWorld, Wolfram Research. (auf Englisch)

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