c = √(a² + b²)

Hypotenuse berechnen

Berechnen Sie die Hypotenuse aus zwei beliebigen bekannten Werten: beiden Katheten, einer Kathete und einem Winkel, der Fläche, der Höhe oder dem Umfang.

Zuletzt geprüft: 10. Oktober 2026

Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen

Die Hypotenuse ist die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks und liegt dem rechten Winkel gegenüber. Kennen Sie beide Katheten, gilt c = √(a² + b²). Kennen Sie eine Kathete und einen Winkel, gilt c = a / sin(α) für die Gegenkathete oder c = b / cos(α) für die Ankathete.

Geben Sie zwei beliebige Werte ein, und der Rechner bestimmt c und danach alle übrigen Seiten und Winkel. Voreingestellt ist eine Leiter, die in 75° zum Boden 4 m hoch an eine Wand reicht.

Ergebnisse

Unregelmäßiges rechtwinkliges Dreieck

Kathete a: 1,0718 m
Kathete b: 4 m
Hypotenuse c: 4,1411 m
Winkel α: 15°
Winkel β: 75°
Höhe h: 1,0353 m
Fläche: 2,1436 m²
Umfang: 9,2129 m
Inkreisradius: 0,4653 m
Umkreisradius: 2,0706 m

Lösungsweg Schritt für Schritt

Der Rechenweg zeigt zusätzliche Nachkommastellen, damit Sie ihn von Hand nachrechnen können. Die Ergebnisse sind auf die gewählten Nachkommastellen gerundet.

Winkel α berechnen

α = 90° − β

α = 90° − 75°

= 15°
Hypotenuse berechnen

c = b / cos(α)

c = 4 / cos(15°)

≈ 4,1411 m
Kathete a berechnen

a = c·sin(α)

a = 4,141105·sin(15°)

≈ 1,0718 m
Fläche berechnen

Fläche = (1/2)·a·b

Fläche = (1/2)·1,071797·4

≈ 2,1436 m²
Umfang berechnen

P = a + b + c

P = 1,071797 + 4 + 4,141105

≈ 9,2129 m
Höhe auf die Hypotenuse berechnen

h = (a·b) / c

h = (1,071797·4) / 4,141105

≈ 1,0353 m
Inkreisradius (Radius des Inkreises)

r = (a + b − c) / 2

r = (1,071797 + 4 − 4,141105) / 2

≈ 0,4653 m
Umkreisradius (Radius des Umkreises)

R = c / 2

R = 4,141105 / 2

≈ 2,0706 m

Formeln für die Hypotenuse bei jedem Wertepaar

Für die Hypotenuse brauchen Sie keine zweite Seite – zwei beliebige Werte, die das Dreieck festlegen, genügen. In der Tabelle ist α der Winkel gegenüber der Kathete a und h die Höhe vom rechten Winkel auf die Hypotenuse. Es sind dieselben Formeln, die der Rechner in seinem Lösungsweg zeigt.

Bekannte Werte	Formel für die Hypotenuse
Beide Katheten a und b	`c = √(a² + b²)`
Kathete a und Gegenwinkel α	`c = a / sin(α)`
Kathete b und anliegender Winkel α	`c = b / cos(α)`
Höhe h und ein Winkel α	`c = h / (sin(α)·cos(α))`
Fläche und ein Winkel α	`c = √(2·Fläche / (sin(α)·cos(α)))`
Umfang P und ein Winkel α	`c = P / (sin(α) + cos(α) + 1)`
Kathete a und Fläche	`b = 2·Fläche / a, dann c = √(a² + b²)`
Kathete a und Höhe h	`b = (h·a) / √(a² − h²), dann c = √(a² + b²)`
Kathete a und Umfang P	`b = P(P − 2·a) / (2(P − a)), dann c = P − a − b`
Höhe h und Fläche	`c = 2·Fläche / h`
Höhe h und Umfang P	`c = P² / (2(P + h))`
Fläche und Umfang P	`c = (P² − 4·Fläche) / (2P)`

Bei den letzten beiden Paaren – Höhe oder Fläche zusammen mit dem Umfang – bestimmt der Rechner c numerisch statt mit der Tabellenformel und kommt auf dasselbe Ergebnis.

Rechenbeispiel: Wie lang muss die Leiter sein?

Eine Leiter soll eine Dachrinne in 4 m Höhe erreichen. Sicherheitshinweise nennen für Anlegeleitern einen Anstellwinkel von 65° bis 75°; hier nehmen wir 75°. Wand, Boden und Leiter bilden ein rechtwinkliges Dreieck, das in der Skizze genauso liegt: Die Höhe an der Wand ist die Kathete b, der 75°-Winkel am Fuß der Leiter ist β, und die Leiter ist die Hypotenuse. Die Höhe liegt β gegenüber, gesucht ist die Hypotenuse, also brauchen Sie den Sinus: sin(β) = b / c. Umgestellt: c = b / sin(β) = 4 / sin(75°) ≈ 4 / 0,965926 ≈ 4,1411 m Leiter zwischen Boden und Dachrinne.

Der Rechenweg des Rechners kommt auf dem anderen Weg zum selben Ergebnis: zuerst der Winkel oben an der Leiter, α = 90° − 75° = 15°, dann c = b / cos(α) = 4 / cos(15°) mit der Kathete, die an diesem Winkel anliegt. Der Fuß der Leiter steht a ≈ 1,072 m von der Wand entfernt, nahe an der Faustregel „1 Teil Abstand auf 4 Teile Höhe“ (4 / 4 = 1). Wären stattdessen beide Katheten bekannt gewesen, etwa 8 und 15, bräuchten Sie keine Trigonometrie: c = √(8² + 15²) = √289 = 17.

Warum die Hypotenuse immer die längste Seite ist

In jedem Dreieck liegt die längste Seite dem größten Winkel gegenüber. Der größte Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks ist der 90°-Winkel, also ist die gegenüberliegende Seite, die Hypotenuse, immer länger als jede Kathete. Das zeigt auch die Formel: c² = a² + b² ist größer als a² oder b² allein.

Das ist eine schnelle Plausibilitätsprüfung für jedes Ergebnis. Ist eine Hypotenuse kürzer als eine Kathete, steht ein Wert im falschen Feld. Ob drei gemessene Längen ein rechtwinkliges Dreieck bilden, prüfen Sie mit dem Satz-des-Pythagoras-Rechner.

FAQ zur Hypotenuse

Wie lautet die Formel für die Hypotenuse?

c = √(a² + b²). Sie folgt aus dem Satz des Pythagoras, a² + b² = c²: Quadrieren Sie beide Katheten, addieren Sie sie und ziehen Sie die Wurzel. Bei Katheten von 6 und 8 ist c = √(36 + 64) = √100 = 10. Kennen Sie statt der zweiten Kathete einen Winkel, nehmen Sie c = a / sin(α) oder c = b / cos(α).

Kann man die Hypotenuse mit nur einer Seite berechnen?

Allein nicht. Zu einer Kathete passen unendlich viele rechtwinklige Dreiecke, Sie brauchen also einen zweiten Wert: die andere Kathete, einen der spitzen Winkel, die Fläche, die Höhe oder den Umfang. Die einzige Ausnahme sind besondere rechtwinklige Dreiecke, deren Winkel schon feststehen: Im 45-45-90-Dreieck ist c = Kathete × √2, im 30-60-90-Dreieck ist c = 2 × kurze Kathete.

Wie berechnet man die Hypotenuse mit einem Winkel?

Mit Sinus oder Kosinus. Kennen Sie die Gegenkathete des Winkels, teilen Sie sie durch den Sinus des Winkels: c = a / sin(α). Kennen Sie die Ankathete, teilen Sie sie durch den Kosinus: c = b / cos(α). Für eine Leiter, die in 75° zum Boden 4 m hoch reicht, liegt die Höhe dem 75°-Winkel gegenüber, also gilt c = 4 / sin(75°) ≈ 4,1411 m.

Wie berechne ich eine Kathete, wenn ich die Hypotenuse kenne?

Stellen Sie den Satz des Pythagoras um: a = √(c² − b²). Ziehen Sie das Quadrat der bekannten Kathete vom Quadrat der Hypotenuse ab und ziehen Sie dann die Wurzel. Bei einer Hypotenuse von 10 und einer Kathete von 6 ist die andere Kathete √(100 − 36) = √64 = 8. Mit der Hypotenuse und einem Winkel gilt a = c·sin(α) und b = c·cos(α).

Kann ich die Hypotenuse aus der Fläche oder dem Umfang berechnen?

Ja, mit einem weiteren Wert. Aus der Fläche und einem Winkel: c = √(2·Fläche / (sin(α)·cos(α))). Aus dem Umfang und einem Winkel: c = P / (sin(α) + cos(α) + 1). Fläche und Höhe ergeben c = 2·Fläche / h, Fläche und Umfang c = (P² − 4·Fläche) / (2P). Die Formeltabelle oben listet alle Paare auf, und der Rechner akzeptiert sie alle.

Liegt die Hypotenuse immer gegenüber dem rechten Winkel?

Ja. Die Hypotenuse ist als die Seite gegenüber dem 90°-Winkel definiert und immer die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks. Weil die beiden anderen Winkel kleiner als 90° sind, sind die gegenüberliegenden Seiten (die Katheten) immer kürzer als die Hypotenuse.

Wie lang ist die Hypotenuse im 45-45-90- oder 30-60-90-Dreieck?

Im 45-45-90-Dreieck ist die Hypotenuse eine Kathete mal √2 (etwa 1,4142). Im 30-60-90-Dreieck ist sie genau doppelt so lang wie die kurze Kathete. Die 45-45-90- und 30-60-90-Rechner auf dieser Website lösen beide aus einer einzigen Seite.

Wie lang muss eine Leiter für eine bestimmte Höhe sein?

Sicherheitshinweise nennen für Anlegeleitern einen Anstellwinkel von 65° bis 75°; bei 75° steht der Fuß etwa 1 Teil von der Wand entfernt auf 4 Teile Höhe. Die Leiter ist die Hypotenuse des Dreiecks aus Wand und Boden. Für 4 m Höhe stellen Sie den Fuß 1 m von der Wand entfernt auf: Die Leiter muss zwischen diesen beiden Punkten mindestens √(4² + 1²) = √17 ≈ 4,12 m lang sein. Wenn Sie oben aussteigen, muss sie außerdem mindestens 1 m über die Austrittsstelle hinausragen.

Wie berechne ich die Bildschirmgröße eines Fernsehers oder Monitors?

Die Bildschirmgröße ist die Diagonale, also die Hypotenuse aus Breite und Höhe, und wird in Zoll angegeben. Ein 16:9-Bildschirm mit 121,8 cm Breite und 68,5 cm Höhe misst √(121,8² + 68,5²) ≈ 139,74 cm, das sind 55 Zoll (139,74 / 2,54 ≈ 55), also wird er als 55-Zoll-Fernseher verkauft. Messen Sie nur die sichtbare Bildfläche, ohne Rahmen.

Wie lang muss eine Rampe sein?

Die Rampenfläche ist die Hypotenuse aus Höhe und waagerechter Länge. Die zulässige Neigung regeln die Vorschriften zur Barrierefreiheit, in Deutschland die DIN 18040 mit höchstens 6 %. Bei 6 % braucht eine Rampe, die 0,3 m ansteigt, 5 m waagerechte Länge, und ihre Fläche ist √(5² + 0,3²) = √25,09 ≈ 5,01 m lang. Nach höchstens 6 m Rampenlänge ist ein waagerechtes Zwischenpodest nötig.

Bei nur einer bekannten Seite hilft der 45-45-90-Rechner oder der 30-60-90-Dreieck-Rechner. Allgemeinere Fragen beantwortet die vollständige FAQ zum rechtwinkligen Dreieck.

Diese Seite zitieren

Um diesen Rechner in einer Hausarbeit oder einem Bericht zu zitieren, können Sie diese Quellenangabe verwenden (APA-Stil):

Right Triangle Calculators. (2026, 10. Oktober). Hypotenuse berechnen. https://righttrianglecalculators.com/de/hypotenuse-berechnen

Quellen

Die Formeln und Definitionen auf dieser Seite stimmen mit diesen Standardquellen überein.

Weisstein, Eric W. “Hypotenuse.” MathWorld, Wolfram Research. (auf Englisch)
Weisstein, Eric W. “Pythagorean Theorem.” MathWorld, Wolfram Research. (auf Englisch)
Weisstein, Eric W. “SOHCAHTOA.” MathWorld, Wolfram Research. (auf Englisch)

Satz-des-Pythagoras-Rechner

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Rechtwinkliges Dreieck berechnen

Fläche, Seiten und Winkel jedes rechtwinkligen Dreiecks aus 2 bekannten Werten berechnen.

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Ein 30-60-90-Dreieck aus einer einzigen Seite lösen.

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Ein 45-45-90-Dreieck (gleichschenklig-rechtwinklig) aus einer einzigen Seite lösen.

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FAQ zum rechtwinkligen Dreieck

Antworten auf häufige Fragen zum rechtwinkligen Dreieck.