Satz-des-Pythagoras-Rechner

Fehlende Seite eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen

Dieses Werkzeug arbeitet nur mit den drei Seiten – ohne Winkel, Höhe, Fläche oder Umfang –, ist also ein schlanker Pythagoras-Rechner ohne Ablenkung. Voreingestellt ist ein Dachsparren mit 2,5 m Höhe und 6 m waagerechter Länge, das Tripel 5-12-13 im halben Maßstab.

Der Satz des Pythagoras einfach erklärt

Der Satz des Pythagoras besagt, dass in jedem rechtwinkligen Dreieck die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist: a² + b² = c². Er ist nach dem griechischen Mathematiker Pythagoras benannt, obwohl babylonische und indische Mathematiker den Zusammenhang schon Jahrhunderte früher kannten und nutzten. Er gehört zu den ältesten und am häufigsten bewiesenen Sätzen der Mathematik – es gibt Hunderte verschiedener Beweise.

Nützlich ist er gerade, weil man damit eine Seite berechnen kann, ohne sie zu messen. Nach jeder Seite aufgelöst: c = √(a² + b²), wenn beide Katheten bekannt sind; a = √(c² − b²), wenn Hypotenuse und eine Kathete bekannt sind; und entsprechend b = √(c² − a²).

Rechenbeispiel: die Länge eines Sparrens

Bei einem 12 m breiten Haus mit Satteldach reicht jeder Sparren von der Außenwand bis zum First: Er läuft 6 m waagerecht und steigt dabei 2,5 m. Der Sparren ist die Hypotenuse. Die Quadrate der Katheten sind 6,25 und 36, ihre Summe 42,25, und die Wurzel daraus ergibt genau 6,5 m: c = √(2,5² + 6²) = √42,25 = 6,5. Vor dem Zuschnitt kommt noch der Dachüberstand dazu. Die Maße 2,5-6-6,5 sind das pythagoreische Tripel 5-12-13 im halben Maßstab – nach 3-4-5 das zweitbekannteste –, und der Rechner kennzeichnet es automatisch.

Alle weiteren Größen folgen aus denselben Formeln wie überall auf dieser Website: Fläche = (1/2)·2,5·6 = 7,5 m², Umfang = 2,5 + 6 + 6,5 = 15 m, Höhe auf die Hypotenuse = (2,5·6)/6,5 ≈ 2,308 m, Inkreisradius = (2,5 + 6 − 6,5)/2 = 1 m und Umkreisradius = 6,5/2 = 3,25 m. Die Dachneigung beträgt α = arctan(2,5/6) ≈ 22,62°.

Ist das Dreieck rechtwinklig? Die Umkehrung des Satzes des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras funktioniert auch rückwärts. Ergeben die Quadrate der beiden kürzeren Seiten zusammen das Quadrat der längsten Seite, muss das Dreieck rechtwinklig sein. Das ist die Umkehrung des Satzes des Pythagoras, und so prüfen Sie, ob drei Längen einen rechten Winkel bilden:

1. Nennen Sie die längste Seite c und die beiden anderen a und b.
2. Berechnen Sie a² + b² und c².
3. Sind beide gleich, ist das Dreieck rechtwinklig. Ist a² + b² > c², ist es spitzwinklig; ist es kleiner, stumpfwinklig.

Für 5, 12, 13: 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13², also rechtwinklig. Für 4, 5, 6: 4² + 5² = 41, aber 6² = 36, also nicht rechtwinklig (sondern spitzwinklig). Ein Trick mit dem Rechner oben: Geben Sie die beiden kürzeren Seiten als Katheten ein – stimmt die berechnete Hypotenuse mit Ihrer dritten Seite überein, ist das Dreieck rechtwinklig. Handwerker nutzen dieselbe Idee mit der 3-4-5-Regel, um rechte Winkel zu prüfen.

Wann Sie diesen Rechner verwenden

Nutzen Sie diese Version, wenn Sie nur zwei der drei Seitenlängen kennen – etwa um zu prüfen, ob ein Rahmen, eine Wandecke oder ein Hochbeet wirklich rechtwinklig ist, indem Sie die beiden Seiten und die Diagonale messen, oder um die nötige Leiterlänge aus dem Wandabstand und der zu erreichenden Höhe zu berechnen. Haben Sie stattdessen einen Winkel, eine Höhe, eine Fläche oder einen Umfang, verwenden Sie den vollständigen Rechner für rechtwinklige Dreiecke, der beliebige zwei der acht möglichen Werte akzeptiert. Sie kennen einen Winkel statt einer zweiten Seite? Nutzen Sie Hypotenuse berechnen.

FAQ zum Satz des Pythagoras

Allgemeinere Fragen beantwortet die vollständige FAQ zum rechtwinkligen Dreieck.

Diese Seite zitieren

Um diesen Rechner in einer Hausarbeit oder einem Bericht zu zitieren, können Sie diese Quellenangabe verwenden (APA-Stil):

Right Triangle Calculators. (2026, 10. Oktober). Satz-des-Pythagoras-Rechner. https://righttrianglecalculators.com/de/satz-des-pythagoras-rechner

Quellen

Die Formeln und Definitionen auf dieser Seite stimmen mit diesen Standardquellen überein.

1. Weisstein, Eric W. “Pythagorean Theorem.” MathWorld, Wolfram Research. (auf Englisch)
2. Joyce, David E. (ed.) “Euclid’s Elements, Book I, Proposition 47.” Clark University. (auf Englisch)
3. Weisstein, Eric W. “Pythagorean Triple.” MathWorld, Wolfram Research. (auf Englisch)