Teorema de Pitágoras
a² + b² = c²
La suma de los cuadrados de los dos catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Despeja cualquier lado a partir de los otros dos: c = √(a²+b²), a = √(c²−b²), b = √(c²−a²).
HOJA DE REFERENCIA
Fórmulas del triángulo rectángulo
Todas las fórmulas que necesitas para la geometría y la trigonometría del triángulo rectángulo, en un solo lugar y con el razonamiento de cada una.
Cómo usar esta hoja de referencia
Todas las fórmulas de esta página usan la misma notación que el resto del sitio: vértices A, B y C con el ángulo
recto en C; cateto a (lado BC) opuesto al ángulo α en el vértice A; cateto b (lado AC)
opuesto al ángulo β en el vértice B; hipotenusa c (lado AB); y altura h trazada desde C
perpendicular a la hipotenusa. Si prefieres introducir números a hacer las cuentas a mano, la
calculadora de triángulo rectángulo aplica automáticamente todas las fórmulas de abajo
y muestra la sustitución paso a paso para los dos valores que le des.
Las fórmulas se agrupan en seis familias: el propio teorema de Pitágoras; el área y el perímetro; las tres razones trigonométricas (seno, coseno y tangente); los dos ángulos agudos complementarios; las relaciones de la altura sobre la hipotenusa (incluidos los teoremas de la altura y del cateto); y los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita. Juntas cubren todo lo necesario para resolver cualquier triángulo rectángulo a partir de dos valores conocidos.
Teorema de Pitágoras
Pruébalo: Calculadora del teorema de Pitágoras
Fórmula del área de un triángulo rectángulo
Área a partir de los catetos
Área = (1/2)·a·b
Como los dos catetos son perpendiculares, cualquiera de ellos puede ser la «base» y el otro la «altura»: la mitad de su producto es el área.
Área a partir de la hipotenusa y su altura
Área = (1/2)·c·h
Es la fórmula habitual de base por altura entre dos, tomando la hipotenusa como base y la altura trazada sobre ella como altura.
Área a partir de la hipotenusa y un ángulo
Área = (1/2)·c²·sen α·cos α
Cada cateto es la hipotenusa por el seno o el coseno de α (a = c·sen α, b = c·cos α), así que la mitad de su producto da el área. Equivale a Área = (1/4)·c²·sen 2α.
Área a partir de un cateto y un ángulo
Área = a² / (2·tan α)
Con el cateto a opuesto al ángulo α, el otro cateto es b = a / tan α. Sustituyendo en (1/2)·a·b se obtiene el área a partir de un solo cateto y un ángulo agudo.
Pruébalo: Calculadora de triángulo rectángulo
Perímetro
Perímetro
P = a + b + c
Simplemente la suma de los tres lados: los dos catetos y la hipotenusa.
Pruébalo: Calculadora de triángulo rectángulo
Razones trigonométricas
Seno
sen(α) = cateto opuesto / hipotenusa = a / c
Para el ángulo α en el vértice A, el cateto «opuesto» es a (lado BC) y la hipotenusa es c. Despejando: a = c·sen(α), c = a / sen(α).
Coseno
cos(α) = cateto contiguo / hipotenusa = b / c
Para el ángulo α, el cateto «contiguo» es b (lado AC). Despejando: b = c·cos(α), c = b / cos(α).
Tangente
tan(α) = cateto opuesto / cateto contiguo = a / b
La tangente de un ángulo agudo es la razón entre el cateto opuesto y el contiguo; sirve para hallar un ángulo cuando solo conoces los dos catetos: α = arctan(a/b).
Pruébalo: Calculadora de hipotenusa
Ángulos
Ángulos agudos complementarios
α + β = 90°
Los dos ángulos no rectos de todo triángulo rectángulo siempre suman 90°, así que conocer uno te da el otro al instante.
Relaciones de la altura sobre la hipotenusa
La altura como media geométrica
h = √(p·q)
La altura trazada desde el ángulo recto divide la hipotenusa en dos segmentos p y q. La altura es la media geométrica de esos segmentos, consecuencia directa de que los tres triángulos que se forman son semejantes.
Altura a partir de los catetos y la hipotenusa
h = (a·b) / c
Se obtiene igualando las dos fórmulas del área, (1/2)ab = (1/2)ch, y despejando h.
Cada cateto como media geométrica
a² = p·c, b² = q·c
Cada cateto es la media geométrica de la hipotenusa completa y del segmento de hipotenusa contiguo a ese cateto: es el teorema del cateto.
Pruébalo: Calculadora de triángulo rectángulo
Circunferencias inscrita y circunscrita
Inradio
r = (a + b − c) / 2
El radio de la circunferencia inscrita en un triángulo rectángulo, tangente a los tres lados. Una identidad útil para comprobar rápidamente cualquier triángulo resuelto.
Circunradio
R = c / 2
La hipotenusa de un triángulo rectángulo siempre es un diámetro de su circunferencia circunscrita (teorema de Tales), así que el circunradio es simplemente la mitad de la hipotenusa.
Pruébalo: Calculadora de triángulo rectángulo
Por qué funcionan las relaciones de la altura
Las relaciones de la altura sobre la hipotenusa parecen un conjunto aparte de reglas, pero todas salen de una sola
observación: al trazar la altura desde el ángulo recto hasta la hipotenusa se forman dos triángulos rectángulos
más pequeños, y ambos son semejantes al original (y entre sí), porque los tres tienen los mismos ángulos, solo que
en otra posición. Una vez que sabes que los tres triángulos son semejantes, sus lados correspondientes deben ser
proporcionales, y al igualar esas proporciones se obtienen directamente h² = p·q,
a² = p·c y b² = q·c, donde p y q son los dos segmentos en que la altura divide la
hipotenusa (p + q = c). Son el teorema de la altura y el teorema del cateto, un ejercicio de
demostración clásico en los primeros cursos de geometría precisamente porque un único argumento de semejanza
desbloquea tres fórmulas que parecen independientes.
Todo junto: una comprobación numérica rápida
Toma el conocido triángulo rectángulo 3-4-5: catetos a = 3, b = 4 e hipotenusa
c = 5. El teorema de Pitágoras lo confirma: 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5². El área es
(1/2)(3)(4) = 6 y el perímetro, 3 + 4 + 5 = 12. La altura sobre la hipotenusa es
h = (3 × 4)/5 = 2,4, que divide la hipotenusa en los segmentos p = a²/c = 9/5 = 1,8 y
q = b²/c = 16/5 = 3,2; y, efectivamente, p + q = 1,8 + 3,2 = 5 = c, y
h² = p·q se cumple: 2,4² = 5,76 = 1,8 × 3,2. Por último, el inradio es
(3 + 4 − 5)/2 = 1 y el circunradio, 5/2 = 2,5. Todas las fórmulas de esta página son
coherentes entre sí, y por eso se usan juntas en las soluciones paso a paso de esta calculadora.
Referencias
Las fórmulas y definiciones de esta página coinciden con estas referencias de consulta.
- Weisstein, Eric W. “Right Triangle.” MathWorld, Wolfram Research. (en inglés)
- Weisstein, Eric W. “Pythagorean Theorem.” MathWorld, Wolfram Research. (en inglés)
- “§4.14 Definitions and Periodicity (Trigonometric Functions).” NIST Digital Library of Mathematical Functions, National Institute of Standards and Technology. (en inglés)
Calculadora de triángulo rectángulo
Halla el área, los lados y los ángulos de cualquier triángulo rectángulo a partir de 2 valores.
Calculadora de hipotenusa
Halla la hipotenusa a partir de dos catetos, un cateto y un ángulo, el área o el perímetro.
Calculadora del teorema de Pitágoras
Halla el lado que falta de un triángulo rectángulo o comprueba si 3 lados forman uno.
Calculadora de triángulos rectángulos especiales
Resuelve triángulos 30-60-90 y 45-45-90 a partir de un solo lado.
Calculadora de triángulo 30-60-90
Resuelve un triángulo 30-60-90 a partir de un solo lado.
Calculadora de triángulo rectángulo isósceles
Resuelve un triángulo rectángulo isósceles 45-45-90 a partir de un solo lado.